Salut.
Je bloque sur la question 4/5/6 de l'exercice 2.
Pouvez vous me dire comment a arriver a la dérivée seconde ?
Et le tableau de signe je ne vois pas comment faire
Merci

Lien :

Bah tu dérives la dérivée premiere pour avoir la derivee seconde

Apres tu etudies son signe, tu dois savoir, et tu auras les variations de l f'

Ben f'' = (f')', il suffit de dériver f'

Tu utilises la formule (u/v)' = (u'v - uv')/v² bien sûr

Pour f'' j'en arrive a x^5-5x^3-x^2-2x-1 / (x²+1)^4
Comment faire ?

Bon la c'est du calcul hein moi je t'aide pas pour ca.

Si tu calcul est bon je te souhaite bonne chance en tout cas.

Tu m'appelles apres les vacances pour me dire si t'as trouvé le signe

D'autres pourraient m'aider ?

Nan je pense pas.

La dérivée c'est comme faire 4*5=20 hein.

Je vois pas comment tu peux demander de l'aide sur un calcul, comme si tu demandais qu'on t'explique pourquoi 2+3=5

Ca s'apprend et ca s'applique betement.

La en l'occurence je vois pas comment faire.

Bon ok.

Tu as f' s'exprimant avec u=v

Donc tu dis que f'' c'est (u'v-uv')/v^2

Pour t'aider je te donne u'=-2x et v'=4x(x^2+1) car la dérivée de u^n c'est nu'u^(n-1)

C'est bon ?

u/v voila ca me fait faire des conneries.

Tu appliques la formule que je t'ai donné

Tu trouves f''(x) = [-2x(x² +1)² - 2(1 - x²)(x² + 1)]/(x² + 1)^4 en appliquant bêtement, ben après tu peux factoriser en haut et ça te donne ce qu'il faut.

Enfin au temps pour moi j'ai oublié un 2x, ça donne plutôt ça...

f''(x) = [-2x(x² +1)² - 2x*2(1 - x²)(x² + 1)]/(x² + 1)^4

J'en arrive a f''(x) = -2x^3-2x^2-4x+4x^5+1 / (x²+1)^4
Je vois pas comment faire mieux

A partir de ce que je t'ai donné ? Il faut pas développer ! Au contraire regarde bien, tu vas trouver une belle factorisation qui te permet de simplifier.

D'ailleurs la minuscule astuce pour calculer cette dérivée, c'est évidemment de ne pas développer le dénominateur avant de le dériver mais plutôt d'utiliser la formule pour (fog)'.

J'ai pas compris comment faire pour simplifier, a part qu'il y a 2 fois (x²+1)...
Tu pourrais m'aider ?

Déjà tu trouves pareil que moi quand tu appliques la formule ?

Si oui, on a donc f''(x) = [-2x(x² +1)² - 2x*2(1 - x²)(x² + 1)]/(x² + 1)^4.

Au numérateur, tu peux mettre (x² + 1) en facteur puisque tu l'as dans les deux termes.

Au passage, tu peux même mettre -2x, pour la même raison.

Ca te donne f''(x) = -2x(x² + 1)[(x² + 1) + 2(1 - x²)]/(x² + 1)^4.

Et là, ô miracle, tu as (x² + 1) en haut et (x² + 1)^4 en bas, tu peux donc barrer celui du haut et mettre un puissance 3 au lieu du puissance 4 en bas.

Ca te donne, en développant le crochet très simple du haut, f''(x) = -2x(3 - x²)/(x² + 1)^3.

C'est bien ce qu'on voulait

Merci ca j'ai bien compris
Par contre tu pourrait m'expliquer comment tu trouves f''(x) au départ avec (u'v-uv')/v^2 ?
En disant les valeurs de u et v sachant que je sais que u = 1-x² et v= (x²+1)²

Et si possible me guider dans le tableau de signe.
Merci beaucoup pour ton aide

Ok je vais te détailler ce que tu dois faire normalement dans ta tête (t'y arriveras avec un peu d'entrainement), ou au pire au brouillon si tu veux être sûr où si c'est plus compliqué.

Tu as donc une fonction f'(x) = (1 - x²)/(x² + 1)² définie sur R à dériver.

Je te passe la vérification de la dérivabilité qui est évidente, ta fonction c'est une fraction donc tu es sûr est certain que tu vas devoir appliquer la formule qui te dit que pour deux fonctions u et v, tu as (u/v)' = (u'v - uv')/v².

Ici, tu poses donc u(x) = 1 - x² ce qui est en haut au numérateur, et v(x) = (x² + 1)² ce qui est en bas au dénominateur.

Tu as donc u'(x) = -2x, ça c'est facile, et v'(x) = 2x*2(x² + 1) = 4x(x² + 1).

Comment tu fais pour cette dernière ? De tête, ou sinon, tu poses g(x) = x² et h(x) = x² + 1, tu as donc v(x) = (x² + 1)² = goh(x). Or tu as une formule qui te dit que (goh)' = h'*g'oh, or ici g'(x) = 2x et h'(x) = 2x. Donc v'(x) = h'(x)*g'oh(x) = 2x*2(x² + 1) = 4x(x² + 1).

Bon ensuite tu appliques la formule pour f'' = (u/v)' et tu trouves ce qu'il faut.

Si je peux te donner un dernier conseil, perd si tu l'as le réflexe de tout développer directement, il vaut mieux réfléchir avant de le faire parce que parfois ça complique inutilement les calculs.

Dis moi si tu as compris ou pas, ensuite on voit le tableau de variation si tu veux

J'ai pas compris d'où viens le goh et ce que ca signifie.
Je vais essayer de voir par moi meme ou sinon essaie de m'expliquer plus précisément.

On peut voir le tableau