D où la question

Comment prouver que
{X€Q+ /x^n<2} (n naturel) n a pas de borne sup ?

ptizap
Posté le 30 août 2012 à 11:09:44
On prend simplement l algorithme de babylone
U(n+1)=1/2(u(n)+2/u(n))

tu te compliques la vie pour rien mec...
sqrt(2) = 1.414 ....
Pour avoir une suite décroissante de rationnels :
U0 = 2
U1 = 1.9
U2 = 1.49
U3 = 1.419
U4 = 1.4149
etc...

• dans Q

Avec ton argument c'est pas possible de prouver le résultat directement, en fait il faut prouver que sqrt(2) n'est pas rationnel et qu'il y a une suite de rationnels croissante qui converge vers sqrt(2) (et donc qu'il n'y a pas de plus grand rationnel inférieur à sqrt(2)). Une façon classique de construire une telle suite de rationnels consiste à faire un développement décimal en base 10 de ton nombre.

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Posté le 30 août 2012 à 11:09:44 Avertir un administrateur
On prend simplement l algorithme de babylone
U(n+1)=1/2(u(n)+2/u(n))

Suite de rationnels d éléments de l ensemble des majorants qui converge vers sqrt(2)

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Posté le 30 août 2012 à 11:12:24 Avertir un administrateur
D où la question

Comment prouver que
{X€Q+ /x^n<2} (n naturel) n a pas de borne sup ?

ptain tu te complique la vie

La densité de Q dans R, ca traduit le fait qu'il y a une infinité de rationnels entre 1 et sqrt(2) (par exemple), d'où le fait qu'il n'y a pas de borne sup pour l'ensemble des rationnels inférieur à racine de 2, puisqu'il n'y a pas de plus petit majorant pour cet ensemble, tu en trouveras toujours un plus petit par rapport à un autre mais pas LE plus petit

donc bon ton argument avec l'algorithme de babylone je vois pas, parce que ca tend vers sqrt(2) mais ca n'atteindra jamais sqrt(2) (preuve en est qu'un rationnel c'est pas un irationnel lol)

zut je me suis trompé dans ce que j'ai dit, lisez pas le premier paragraphe je me suis embrouillé
en gros t'utilises la densité de Q dans R comme des gens l'ont dit 2/3 fois la page prévcédente
donc si t'as l'ensemble es rationnels inférieur à sqrt(2), on a par exemple 2 comme majorant, mais par la densité de Q dans R, il y a une infinité de majorant plus petit les uns que les autres mais il n'y en aura pas de PLUS PETIT, de manière absolue

Construire une suite de majorants décroissante et convergeant vers sqrt(2) montre qu'il n en existe pas de plus petit

Effectivement utiliser la densité permet de conclure plus rapidement et apporte une réponse à la généralisation.