En détaillé t'as

f(z) = exp(ix) + 1 / exp(ix) - 1

Tu factorises par expix/2 en haut et en bas et avec les forumules d'Euler tu obtiens :

f(z) = cosx/2 / sinx/2 * -i

Putain c'est balèze

Mais Euler, et tout le bordel vous avez revu en cours jespère ?

Ouai.

Par contre pour la partie réciproque je vois pas d'astuce.

Et tout ça ça vient d'initiatives où vous en avez parlé en cours ?

L'arc moitié c'est du classique

J'ai jamais vu ça.

Pour l'exo tu fais comment pour trouver des racines réelles ?

tu montres que ((z+i)^5-(z-i)^5) est égal à 0 si et seulement si z est un réel?

Ca semble faisable ça

Bah ils veulent un truc géométrique.

c'est pas ssi z réel, fait attention aux équivalences...

=>(z+i)^5 = (z-i)^5
i n'est pas solution:
=>[(z+i)/(z-i)]^5 = 1
ca permet d'avancer. Mais t'inquiètes pas, c'est du classique de sup, si tu veux absolument bosser revois tes cours de term, c'est suffisant

Mais comment on prouve une équivalence ?

On fait la première implication et la réciproque ou on dit machin équivaut a machin, donc équivaut à ....qui équivaut a...

soit tu travailles directement par équivalence, soit tu fais les 2 implications à part, ça dépend...

Genre une équation du premier degré (pour prendre un exemple extrême) tu travailles par équivalence:
x+a=0 <=> x=-a

Dans certains cas ça n'est pas possible, ou casse-gueule.

J'ai du mal à comprendre ça, j'irai me renseigner.

Bon je reprends.

F(z)=0 revient a dire que le terme de droite est nul d'où (z+i)^5=(z-i)^5
Mais là je sèche, car je sais pas si on peut appliquer la racine 5ème pour simplifier le bordel, et même si ça marchait on aurait i=-i à la fin donc...

En prenant le module, ta fraction a un module 1, donc s'écrit sous la forme e(ix).

ils entendent quoi par géométriquement ? Parce que va tracer cette homographie.

Il faut une interprétation géométrique, en prenant le module ça te dit qu'on a nécessairement |z+i|=|z-i| et donc z est sur la "médiatrice" de i et de -i... qui est la droite réelle

Mais le module on doit l'amener ?

Et les exposants tu les vires ?

T'as deux complexes (z-i)^5 et (z+i)^5 qui sont égaux, donc leurs modules sont égaux.
Et pour x et y réels, si x^5=y^5 alors x=y évidemment.

C'est ça que je comprends pas trop.

Par exemple si e^2x=e^3x-2 alors 2x=3x-2 car à chaque antécédent est associée une image unique.

D'accord mais la fonction x+1 associe aussi une image unique et f(2x)=f(3x-2) n'équivaut pas a 2x=3x-2

Ben si, pour la fonction x+1 c'est vrai aussi. Ca s'appelle l'injectivité (deux points différents ont des images différentes).
Pour la fonction carré ça ne l'est pas par contre.

Trace la fonction x->x^5, tu verras que pour une ordonnée donnée, tu as une seule abscisse possible.

Racine cinquième sur des complexes prudence

Donc c'est vrai si et seulement si la fonction est continue et monotone ?

Ah ça me rappelle le théorème des valeurs intermédiaires, j'ai tort ?