Bonjour, j'ai un petit exo, je sais pas trop comment faire :
je note l pour "lambda"

Soit T1,T2,...,Tn des variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètres respectivement l1,..,ln (avec li>0)

1. Calculer la fonction de répartition de Ti
2. Soit t>= 0, calculer P(T1>t,..., TN>t)
3. En déduire la loi de T=min(T1,..,Tn)

pour la première question il faut calculer l'intégrale entre 0 et t de le^(-lx), c'est (1-e^(-lt)) non ?

pour la 2. et la 3. je sais pas comment faire

merci de m'aider

1. Oui c'est ça.
2. Par indépendance P(T1>t,..., TN>t) = P(T1>t)*...*P(Tn>t)
Puis P(T1>t) = 1 - P(T1 <= t) = 1 - (1 - e^(-l1t)) = e^(-l1t).
Pareil pour les autres, puis tu fais le produit.
3. Pour trouver la loi on calcule la fonction de répartition.
P(T <= t) = 1 - P(T > t).

Or T > t <=> T1>t,..., TN>t. Puis tu utilises la question 2.
Ensuite tu dérives P(T <= t) et t'obtiens la densité.

2.P(T1>t,..., TN>t) = e^(-l1t)*...*e^(-lnt) = e^(-(l1+..+ln)t)

pour la question 3 ça veut dire quoi T= min(T1,..,Tn) ?

ça donnerait 1-e^(-(l1+..+ln)t) et en dérivant c'est (l1+..+ln)e^(-(l1+...+ln)t ?

Pour tout w, T(w) = min(T1(w),...,Tn(w)).

Voilà c'est ça, le min de var indépendantes de lois expo suit une loi expo de paramètre la somme des paramètres.

merci et dernier exo :
je note "int" pour intégrale

Soit f : [0,1] -> R une fonction mesurable et de carré intégrable.On note u = intf(x)dx entre 0 et 1 et v=intf²(x)dx entre 0 et 1. Soit (Xi) i>=1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur [0,1]. On pose Sn = f(X1)+..+f(Xn).

1. On pose Yi = f(Xi). Montrer que (Yi)i>=1 forme une suite de variable aléatoires indépendantes identiquement distribuées. Calculer E(Yi) et var(Yi)

2. Montrer que Sn/n converge presque sûrement vers u

3. Montrer que pour tout réel epsilon >0 et tout entier n on a
P(|(Sn/n) - u| >= epsilon ) =< var(Sn/n)/epsilon² =< v/(epsilon²*n)

Pour la 1 je suis pas sûr mais si Xi est une suite de variable aléatoire indépendante alors f(Xi) serait aussi une suite de variable aléatoire indépendante non ? je sais pas comment montrer ça.
Pour calculer E(Yi) = E(f(Xi)) = 1/2 et var(Yi) = 1/12

je pense que je dis n'importe quoi car j'ai utilisé la formule de l'espérance d'une loi uniforme : (a+b)/2 et comme la variable est définit sur [0 1] alors ça fait 1/2 lol. Pareil pour la variance : (b-a)²/12, ça fait 1/12

2. Pour montrer que ça converge vers u, j'ai pensé à utiliser l'inégalité de Markov :
P(|(f(X1)+..+f(Xn)/n) - u | >= epsilon) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Par l'inégalité de Markov :
P(|(f(X1)+..+f(Xn)/n) - u |² >= epsilon²)
=< E((f(X1+..+f(Xn)/n) - u)²/epsilon² =(1/(n²*epsilon²))*Var(f(X1)+..+f(Xn))

COmme les f(Xi) sont indépendante alors ça donne
(1/(n*epsilon²))*Var(f(X1) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

POur la 3. je sais pas comment faire, merci de m'aider.

"si Xi est une suite de variable aléatoire indépendante alors f(Xi) serait aussi une suite de variable aléatoire indépendante non ?"

Oui. Ça doit être dans ton cours non ? Pour le montrer faut revenir à la définition de variables aléatoires indépendantes, à savoir l'indépendance des tribus engendrées par ces variables.

Comme Xi suit une loi uniforme, E[f(Xi)] = int sur [0,1] de f(x)dx, donc u.
Et V(f(Xi)) = int sur [0,1] de (f(x)-u)²dx.

Pour la 2, tu peux simplement utiliser la loi des grands nombres.

Pour la 3, c'est justement le calcul que t'as fait pour la 2, sachant que Var(Sn/n) = Var(Yi)/n.

pourquoi int sur [0,1] de f(x)dx c'est une espérance ?
c'est pas int sur [0,1] de xf(x)dx d'habitude ?

Ok et donc pour la 3ème question se serait :

P(|(Sn/n)-u|>=epsilon) =< 1/(n*epsilon²)*int sur [0,1] de f²(x)dx-u² =< 1/(n*epsilon²)*int sur [0,1] de f²(x)dx ?

car Var(f(Xi)) = E(f²(Xi))-E(f(Xi))² = int sur [0,1] de f²(x)dx - u²

Ouais. Et int sur [0,1] de f²(x)dx c'est v.

Bonjour, j'ai besoin de votre aide :

Soient (X1,X2,X3) trois v.a réelles indépendantes de même loi N(0,1).
Soient U=X1-X2+X3, T1= X1+X2, T2= X1-X3

1. Montrer que U est indépendante du vecteur (T1,T2)

Il faudrait pas développer développer cov[(X1-X2+X3),(X1+X2),(X1-X3)] ?

et en développant ça me donne pas 0 au final

help

(U,T1,T2) est un vecteur gaussien et
Cov(U,T1) = 0
Cov(U,T2) = 0

oui mais il faut montrer non ? je sais pas si c juste de faire comme ça : cov[(X1-X2+X3)(X1+X2)] =
cov(X1X1)+cov(X1X2)-cov(X2X1)-cov(X2X2)+cov(X3X1)+
cov(X3X2)

en fait je vois pas comment on développe le truc pour montrer que c'est égal à 0.

Les Xi sont indépendantes, donc il reste juste Cov(X1,X1) - Cov(X2,X2) = 1 - 1 = 0.

ok, après c'est: je note "l" pour lambda
MOntrer que pour tt lambda appartient à R
E(e^(ilX1)|U) = e^(ilU/3)*e^(-l²/3)

je trouve e^(ilU/3)*E(e^(il(T1+T2)/3))

ensuite il faut sûrement calculer la fonction caractéristique de T1+T2 en l/3
je trouve pas le bon truc : la fonction caractéristique de T1 c'est e^(-t²) et T2 pareils ? donc on fait le produit et ça donne e^(-2t²)..

"ensuite il faut sûrement calculer la fonction caractéristique de T1+T2 en l/3 "

Oui.

"je trouve pas le bon truc : la fonction caractéristique de T1 c'est e^(-t²) et T2 pareils ?"

Oui.

"donc on fait le produit et ça donne e^(-2t²)"

Ça serait bon si T1 et T2 étaient indépendantes, mais ça n'est pas le cas. Mais tu sais que T1+T2 suit une N(0,6). Donc sa fonction caractéristique est exp(-3t²). Évaluée en l/3 ça donne bien exp(-l²/3).

dsl mais pourquoi N(0,6) et exp(-3t²)?

et une autre question qui n'a rien à voir avec l'exo, si on prend T1 = X1+X2 (indépendant, suivant une normale centrée réduite), sa fonction caractéristique sera e^(-t²) mais à partir de ça qu'est ce qui nous permet de connaitre la loi ?
est-ce le "2" qui apparait quand on l'écrit sous cette forme e^((-1/2)*2*t²) ?

Je réponds déjà à ta 2ème question.
Si X1 et X2 suivent des lois normales et sont indépendantes, alors X1+X2 suit une loi normale dont l'espérance est la somme des espérances, et la variance est la somme des variances.
Donc si X1 et X2 sont iid de loi N(0,1), X1+X2 suit une loi N(0,2).
Autre façon de le voir : la fonction caractéristique de X1+X2 est exp(-t²). Or ceci est la fonction caractéristique d'une N(0,2) (de façon générale la fc d'une N(m,sigma²) est exp(imt - sigma²t²/2)). Comme la fonction caractéristique caractérise la loi, ceci prouve que X1+X2 suit une N(0,2).

Pour T1+T2, on a T1 = X1+X2, et T2 = X1-X3 donc T1+T2 = 2X2+X2-X3.
Comme X1, X2, X3 sont iid de loi N(0,1), T1+T2 suit une loi normale d'espérance 2*0+0-0 et de variance 2²+1+1, donc une N(0,6), dont la fc est exp(-6t²/2) = exp(-3t²).