aspie commander c'est le meme raisonnement que j'ai eu a premiere vue, mais pour moi il ne repond pas reellement au probleme parce que pour moi il est mal posé enfin bref !

apparemment la reponse attendue est celle la

j'ai essaié de voir un lien avec la geometrie projective, c'est assez sympa comment ca peut donner des choses qu'on ne concoit pas a premiere vu ! (c'etait plus par depit de ne pas etre sur de la comprehension de l'enoncé !)

Ok pour la minoration.

Et pour l'égalité :

1. On part d'une droite D_n avec n points.

2. On ajoute n-2 points pour former une droite D_{n-1} à n-1 points (D_n et D_{n-1} se coupent en 1 des points).

3. Si on a D_n, ..., D_{n-i} deux à deux, on choisit une droite D_{n-i-1} d'équation y = a.x+b avec a et b entiers.
on peut choisir a et b de façon à avoir que D_{n-i-1} n'est parallèle à aucune autre des droites D_* déjà construites.
D_{n-i-1} coupe ainsi chaque D_* en un point, dont les coordonnées ont le bon goût d'être rationnelles.
Quitte à appliquer une homothétie, ces coordonnées peuvent être supposées entières.
Et comme il reste suffisamment de points sans contraintes sur chaque D_* (= des points qui ne sont que sur la droite correspondante), on peut placer ces points là à ces fameuses coordonnées entières.
Bref, on a i+1 points, et il en manque donc (n-i-1) - (i+1) = n-2i-2

4. Ce qui précède vaut tant que n-i-1 >= i+1. Après on n'a même plus besoin de tous les points.

5. Bref, ça donne une solution constructive qui atteint n + (n-2) + (n-4) + … + (n modulo 2).

Bon, ça c'est le schéma de preuve… À bétonner.

PS: dans ma tête, le plan c'était N². Mais à la relecture, ça ne faisait peut-être même pas partie du jeu.

suumascisla je sais pas quelle preuve tu attendais (tu as parlé de récurrence ? ) si c'est plus simple je veux bien la voir

Tiens, tant qu'on est sur de la géométrie amusante :

On considère un ensemble infini de points du plan tel que la distance entre deux points de cet ensemble est toujours entière.
Montrer qu'ils sont alignés

effectivement le plan n'est pas R² mais le plan affine usuel ( sans repères )

"On considère un ensemble infini de points du plan tel que la distance entre deux points de cet ensemble est toujours entière.
Montrer qu'ils sont alignés "

heuresement deja qu'il y a une infinité de points !
a mon avis faut deja partir avec un raisonemment par l'absurde comme quoi il existe au moins un point qui n'appartient a une certaine droite formée par une infinité de points
introduire ainsi une suite de points alignés
et raisonner avec les triangles qui sont formés entre 2 points de cette droite et un point qui n'appartient pas a cette droite

et logiquement apres une petite serie de calcul on trouvera une condition necessaire qui est absurde

PAR CONTRE, une question
ton ensemble considere TOUS les points ou c'est juste un ensemble de points infini qui considere cela

si il considere tous les points je pense que la demonstration tient en quelque ligne car on a le choix sur les distances ! (en effet suffit de considerer tous les points qui ont une distance de 1 faire le triangle avec le point supposé non alignés et la contradiction sera plus evidente car les calculs seront simplifiés
mais je pense bien que c'est un ensemble a la base quelconque

suumascisla
Posté le 11 mai 2012 à 09:07:43 effectivement le plan n'est pas R² mais le plan affine usuel ( sans repères )

la par contre je ne comprends pas
un plan affine usuel pour moi il comporte toujours au moins repere (tel que 3 points non alignés) et il peut etre identifié a R², car on peut toujours trouvé un repere affine orthonormé

C'est bien le fait que l'ensemble soit infini qui est important, et il faut en effet raisonner par l'absurde ça on s'en rend compte assez vite

Par contre, je sais pas si ta démo pourrait aboutir, mais je pense pas que ce soit correct : tu supposes d'emblée l'existence "d'une certaine droite formée par une infinité de points", c'est pas dit qu'il en existe une... Les points pourraient être répartis un peu partout dans le plan sans qu'aucune droite ne passe par une infinité d'entre eux.
Pour démarrer le raisonnement par l'absurde, on suppose juste qu'il existe trois points non alignés appartenant à l'ensemble.

J'ai pas trop compris ta question par contre, mais c'est bien un ensemble quelconque de points qui vérifie cette propriété.

La démo tient en 5-6 lignes et ne fait appel à aucun calcul

tu peux le munir d'un repère, mais ce probleme n'est pas de la géométrie analytique.