Salut,
un problème que je trouve intéressant :
f est une fonction de N dans N définie de la façon suivante :
f(n) est le nombre mimimal de points du plan tel que pour tout k = 1, 2, ..., n il existe une droite passant par exactement k de ces points, il faut déterminer explicitement f(n)
bon courage car c'est pas évident.

T'es sûr de ton énoncé?

ok c'est bon, j'avais mal lu

Vraiment personne, si vous voulez je peux donner une indication

J'ai pas compris l'énoncé tu peux le préciser un peu stp
Pour moi f(n) est constante égale à 12 là

• 2

Si tu pourrais poster une photo de l'exercice, ça nous aiderais.

en gros pour calculer f(n)=nombre minimal de points tel que quelque soit k entre 1 et n il exite une droite passant par k de ces points

si on procede par construction : f(n)=n
pourquoi ?
n=1 et 2 c'est evident
n=3
alors voila pr k=1 on choisit un point
k=2 on choisit un autre point
k=3 : on choisit 1 point aligné aux deux precedents ?

et faut justifier cela par reccurence

mais je doute que ca soit vraiment ca la question tellement c'est ambigu
sinon j'avais un autre raisonnement qui considerait des points quelconques et le fait qu'il faille rajouter des points mais ca ne rime a rien trop de considerations entre points alignés ou non ...

Je trouve :

Si n est pair, f(n) = 1/4 n (n+2)
Si n est impair, f(n) = 1/4 (n+1)²

Formule générale : f(n) = - (E(n/2)+1) (E(n/2)-n)
(où E(n/2) est la partie entière de n/2)

Ça a l'air de marcher pour les 6 premiers termes à la main (0, 1, 2, 4, 6, 9, 12), mais j'ai pas trop envie d'essayer de détailler ma "démonstration" j'ai juste réfléchi avec des dessins ça parait intuitif que ça donne bien le minimum mais ça serait chiant à faire rigoureusement

D'après la façon dont j'ai compris l'énoncé, f(n)=+inf pour n>+3

n >= 3

*

aspie tu as compris de quelle maniere ? peux tu detaillé ton raisonnement sur n=3 et n=4 ? de maniere rapide

je sais pas si on l'a compris de la meme facon, parce l'autre facon dont j'ai interpreté le probleme j'avais trouver pareil que toi pour n=3 et n=4 (sachant que n=4 j'avais 2 solutions differentes dependant de la facon d'interpretation du probleme xD)

je le trouve pas tres clair, mais j'etais pas tres inspiré et assez pressé

je continuerais peut etre d'y reflechir si quelqu'un commence a detailler une de ses reflexions ou que l'auteur apporte des reelles arguments car l'enonce peut etre résolu de diverses manieres, tout depend des variables considérés et fixes (dans le raisonnement qu'on peut avoir)

car si on considere une construction ca parait bien trop simple ..., si on considere des points fixes (dans le raisonnement bien sur pas des points donnés par l'enoncé sinon ce serait trop simple ) il y a des cas a differenciés et encore la ca ne reste pas tres clair quand a la conclusion apportée au probleme

"quelque soit k entre 1 et n il exite une droite passant par k de ces points"

c'est moi ou elle veut rien dire cette phrase ?

bah ca veut juste dire qu'il existe une droite passant par 1 point "selectionné" par f(n),et qu'il existe une droite(differente ou non de la precedente) passant par 2 points "selectionné" par f(n), etc.....

dorian : c'est ca le principe bien joué ^^

vu qu'il y a du monde qui pense que l'énoncé ne veut rien dire je vais vous aider :
pour n = 1 k varie de 1 à 1 donc il doit exister une droite qui passe par un certain nombre de point(s) ( le moins possible ) tel qu'ils sont sur une même droite
la réponse est évidemment 1 ( un point suffit pour tracer une droite, peu importe sa direction, passant par ce point )
pour n = 2 k varie de 1 à 2 comme c'est pour tout k il doit exister 2 droites qui passent par un certain nombre de points ... donc 2 => f(2)
2 points suffisent, une droite passe par un point et une autre droite passe par les 2 points.
etc...

AspieCommander : BIEN JOUÉ, tu as une grande capacité d'analyse et de comphréension, maintenant il faut le démontrer ^^

Tu peux le faire par réccurence

J'arrive au même résultat qu'AspieCommander avec papier+crayon+oeis ( http://oeis.org ).

Bref, on peut écrire aussi E( (n+1)² / 4 ) manifestement.

Justement la façon dont est posé l'exo laisse penser qu'il s'agit d'une récurrence, j'essayais d'exprimer f(n+1) en fonction de f(n) au début ou un truc de ce style là.
Mais en fait ma façon de compter utilise pas du tout les cas précédents c'est pour ça que j'ai pas cherché à l'expliquer je me suis dit que c'était pas la méthode attendue.

Bref je vais essayer d'expliquer à l'écrit, c'est mieux de faire des dessins mais bon

Pour n, on va appeler E l'ensemble de points minimal vérifiant la propriété, on le construit petit à petit.

On commence par la droite qui va contenir exactement n points. : E contient donc n éléments.

Ensuite, il faut une seconde droite, non confondue, qui en contienne (n-1). Pour minimiser le nombre de nouveaux points qu'on va ajouter dans E, on va en prendre un en commun avec la première droite. Il reste donc (n-2) nouveaux points à ajouter dans E.

Ensuite, la troisième droite va devoir contenir (n-2) points. On peut, au mieux, la faire croiser les deux premières droites créées, et donc on va devoir rajouter (n-4) points dans E.

En continuant comme ça, on va minorer f(n) :
f(n) >= n + (n-2) + (n-4) + ... + jusqu'à arriver à 1 ou 0.

Pour valoir l'égalité, il faudrait prouver que l'on peut dans tous les cas aboutir à une construction qui marche... En fait en faisant des dessins on se rend vite compte que c'est facile, il suffit de tracer d'abord les droites et mettre les points aux intersections... Mais à formaliser c'est assez chiant, surtout à l'écrit vu que je suppose que mon message n'est déjà pas super clair