Bonjour à tous,
je bloque sur un calcul de limite, pourriez-vous m'aider svp.
Je dois calcule la limite en +infini et en -infini de:

[(x²-x+1)/sqrt(x²+1) * exp(Arctan(1/x))] - x

Heu
= lim [(x²-x+1)/sqrt(x²+1) * lim exp(Arctan(1/x))]
En +00 : [(x²-x+1)/sqrt(x²+1) tends vers 1
1/x tends vers 0
lim arctan(1/x) en +00 = lim arctan(x) en 0

Bref, la limite d'un produit de fonction = le produit des limites
La limite d'une somme de fonctions = la somme des limites

Tu peux faire un DL du Arctan(1/x):
Arctan(1/x) = 1/x + o(1/x)
exp(Arctan(1/x))=exp(1/x + o(1/x)) = 1 + 1/x + o(1/x)

Ca te permet de mettre tout au même dénominateur et de trouver aisément les limites, je pense.

sauf que tu as oublier le -x dans l'expression que j'ai donnée et c'est cela qui pose problème, je n'arrive pas à lever l'indétermination.

"En +00 : [(x²-x+1)/sqrt(x²+1) tends vers 1 "

Non, ça tend vers +oo

ok merci je vais tenter ça avec les dl.

"En +00 : [(x²-x+1)/sqrt(x²+1) tends vers 1 "

Ha oui pardon ^^

Je peux utiliser les développement limités en 0 pour calculer des limites en l'infini ?

Oui mais en faisant un changement de variables

Comment dois-je procéder? On a fait très peu d'applications avec les dl donc je vois pas trop comment faire.

Bah un exemple tout con :

soit X=1/x

lim de 1/x en l'infini = lim de X en 0

oui, en posant t=1/x , j'ai
Arctan(t) = t + o(t)
exp(Arctan(t))=1 + t + o(t)

mais après en remplaçant exp(Arctan(1/x)) dans l'expressio , je ne vois toujours pas comment calculer la limite en + et - l'infini

Tu n'a pas besoin de remplacer encore^^
Avec X=1/x

lim de 1/x en +00 EGALE lim de X en 0

Tu fais le DL de toute ton expression en 0 et le résultat sera la lim de X en 0. Soit la lim de 1/x en +00

je suis complètement largué là

comment je fait pour calculer le dl de ça ??

[(x²-x+1)/sqrt(x²+1) * exp(Arctan(1/x))] - x

Tu remplaces tous les X par 1/X

Et tu calcules le dl en 0.

en posant X=1/x , j'ai:

[(1/X²-1/X+1)/sqrt(1/X²+1) * exp(Arctan(X))] - 1/X

pour exp(Arctan(X)) je vois comment calculer le dl mais pour le reste je vois vraiment pas

Bah tu ne calcules pas le DL pour le reste, tu multiplies simplement!
(T'as des x au carré donc t'as plutot intéret à t'arreter à l'ordre 2)

Fin bref, désolé les DL c'était en prépa y'a maintenant 5 ans, j'ai un peu oublier depuis :s

Ma calculatrice me dit que le résultat en + l'infini est + l'infini

en + infina ça semble plutôt être 0 (d'après ma calculatrice).

Je pense en effet qu'il suffit de faire le DL de l'exp.

Une fois arrivée à exp(Arctan(x))=1 +1/x + o(1/x) je pense que ça se calcule bien (comme une limite normale).
Et c'est bien 0, apparemment