Bonsoir,

Voilà wikipedia dit pour une application injective : pour tout élément de l'ensemble d'arrivée, il existe au plus un antécédent dans l'ensemble de départ.

et pour une application surjective : est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ

mais après ils disent qu'une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective, or comment elle peut être à la fois injective et surjective, c'est contradictoire non ? Car injective = un antécédent maximum et surjective = au moins un antécédent, une fonction ne peut pas être les deux..

Et bijection = un antécédent maximum, donc quelle est la différence entre bijection et injection du coup ?

injection, il y a au plus un antécédent donc il peut ne pas y en avoir

bijection il y a une unique antécédent

Injection Un élément de l'ensemble d'arrivée ne peut avoir plusieurs antécédents.
Surjection Un élément de l'ensemble d'arrivée a forcément au moins un antécédent.
Bijection Un élément de l'ensemble d'arrivée a forcément un unique antécédent.

Ah ouais effectivement merci.
Mais alors comment une application peut être à la fois injective et surjective ?

Montre que la fonction f(x) = x l'est.

Bah f(x) = x est bijective sur R non ?

Mais d'après wikipedia si elle est bijective ça veut dire qu'elle est à la fois injective et surjective, or f(x) = x n'est pas injective car il y a toujours au moins un antécédent et elle n'est pas non plus surjective car il n'y a jamais plus d'un antécédent (la fonction est continue et strictement croissante).

Surjective, c'est au moins un antécédent. C'est à dire que si tout élément de l'ensemble d'arrivée à un seul antécédent, c'est une surjection.
Mais comme dans ce cas les éléments de l'ensemble d'arrivée n'ont qu'un antécédent, c'est aussi une injection, car ils n'en ont pas plus d'un.
Donc c'est bijectif

Ah ok j'ai compris, mais c'est vraiment dans un cas spécial des surjections et des injections que c'est bijectif alors.

Par exemple f(x) = exp(x) est injectif sur R j'ai bon ?
Mais bijectif sur R+ c'est ça ?

oui c'est ca

• bijectif de R dans R+

injectif de R dans R

Mais là j'ai un doute quand on dit qu'une fonction est définie sur R+ ça veut dire quoi graphiquement ? Que la courbe n'est que à droite de l'axe des ordonnées c'est ça ?

oui, tout réel négatif strictement n'a pas d'image

Donc exp(x) ne réalise pas une bijection sur R+ car par exemple la droite d'équation y = -1 ne coupe pas la courbe donc aucun antécédent.

Je dois mal comprendre un truc.

exp réalise une bijection de R dans R+

-1 ne fait pas partie de R+....

En gros une application est définie par un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.
f: R -> R
x -> exp(x)
ne réalise pas de bijection (les réels négatifs n'ont pas d'antécédent)
alors que
g: R -> R*+
x -> exp(x)
est une bijection

Lequel -1 ? le -1 de l'axe des abscisses ou le -1 de l'axe des ordonnées ? C'est ça que je ne comprends pas, ce n'est pas un problème de surjection etc. j'ai compris les trois définitions.

Par exemple une courbe qui est à droite de l'axe des ordonnées et sous l'axe des abscisses fait partie de R+ non ?

Le post de PaulMorphy résume bien.

Il faut bien faire la différence entre l'ensemble de départ et d'arrivée.

évite de dire "réalise une bijection sur E" mais plutôt "réalise une bijection de E vers F", surtout quand les ensembles de départ et d'arrivée ne sont pas les mêmes

• "de E dans F" est encore mieux

Ok mais une courbe définie sur R+ peut-elle se retrouver à droite de l'axe des ordonnées et en-dessous de l'axe des abscisses ? Donc dans la partie en bas à gauche du repère orthonormal.

Car c'est ça qui me pose problème.

si elle est définie sur R+, elle est située à droite de l'axe des ordonnées (i.e. pour des abscisses positives)