Bonjour à tous !

Voila j'ai un TD à faire et je suis bloquée à la 2e partie de mon TD , est ce que quelqu'un peut m'aider ?

L’énoncé :

E est un espace vectoriel de Dim 3 dont une base est B=(e1,e2,e3).. u est l'endomorphisme de E dont la matrice A dans la base B est
A=1/2( 1 1 1 )
( 1 1 -1 )
( 4 -4 -2 )

Il y a une première partie où il s'agit de diagonaliser u , de trouver ses valeurs propres etc .. j'ai réussi !
On trouve alors que la matrice u dans la base B' = (e'1,e'2,e'3) de D est
u= ( -2 0 0 )
( 0 1 0 )
( 0 0 1 )

On suppose vov= u

5)Montrer que u o v = v o u

=> Je pense avoir réussi , j'ai dit que u o v = v o v o v car u = v o v
et donc u o v = v o u car v o v = u

6)Montrer que u o v(e'1) = -2v(e'1) . En déduire que v(e'1) et e'1 sont colinéaires et ainsi qu'e'1 est vecteur propre de v

=> j'ai dit que u o v(e'1) = v o u(e'1) = v(-2e'1) car u(e'1) = -2e'1 ( voir matrice )
donc = -2v(e'1)

Je sais pas si c'est correct ! Et je sais pas justifier que e'1 et v(e'1) sont colinéraire et que e'1 est vp de V

7) Soit x un vecteur propre de u associé a la valeur propre 1. Mq que u o v(x) = v(x) puis en déduire que x appartient a vect(e'2,e'3)

=> u(x) = x donc u o v(x) = v o u(x) = v(x) !

apres ?

Le reste je n'ai pas réussi !

8) En déduire que la matrice de v dans la base B' est de la forme : a 0 0
0 b c
0 d e

Montrer alors que a²=-2 et conclure sur l'existence de v

Merci de m'aider à comprendre !! Il y a d'autre partie mais déja j'aimerai bien comprendre ça !

Merci

Pour la 6, tu as u(v(e'1)) = -2v(e'1), ce qui signifie que v(e'1) est un vecteur propre de u associé à la valeur propre -2. Comme E_(-2) est une droite, nécessairement v(e'1) est colinéaire à e'1 (puisque e'1 engendre ce sous-espace propre).

ah ok et comme v(e'1) est vp de u associé a la valeur propre -2 alors e'1 est vp de de v ?

Pour la 7, c'est pas "en déduire que v(x) appartient a vect(e'2,e'3) " ?

Parce que sinon c'est par définition de x...

Là tu as u(v(x)) = v(x), donc v(x) est vecteur propre de u associé à la valeur propre 1, donc v(x) appartient à vect(e'2,e'3).
On a donc montré que v(e'1) appartient à vect(e'1), et que x € vect(e'2,e'3) => v(x) € vect(e'2,e'3). D'où la forme de la matrice.

v(e'1) est colinéaire à e'1 : v(e'1) = ae'1. Donc e'1 est vecteur propre de v (associé à une valeur propre a qu'on ne connaît pas).

non c'est bien x ! ( sauf si il y a erreur d'enoncé )

Par contre j'ai pas compris ton idée de droite par rapport a E_(-2)

J'ai bien compris que v est en fait vecteur propre de u associé a la valeur -2 mais ensuite j'ai pas compris :\

Et aussi pourquoi le fait que v soit vecteur propre de u associé à la valeur propre 1 entraine que v(x) appartienne à vect(e'2 e'3) ?

v(e'1) est vecteur propre de u associé à la valeur propre -2, ce qui signifie que v(e'1) appartient à E_(-2) (le sous-espace propre associé à -2). Or E_(-2) est une droite car -2 est une valeur propre simple, et cette droite est engendrée par e'1. Donc v(e'1) est colinéaire à e'1.

N'oublie pas que quand tu diagonalises tu obtiens une base de vecteur propre : e'1 est une base de E_(-2) et (e'2,e'3) est une base de E_1, ce qui implique que vect(e'2,e'3) est le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 (E_1).

Je comprends pas ton histoire de E_(-2) on a jamais traité un exercice comme ça avec une histoire de droite mais pas grave j'écouterai la correction !

Pour la forme de la matrice je vois pas trop ce que font le c et le d en plus :\

Tu ne comprends pas pourquoi le sous-espace propre associé à -2 est de dimension 1 ?

Pour la matrice, il n'y a pas de c et d "en plus". A priori il y a des coefficients partout, mais les questions précédentes montrent qu'il y a des 0 à certains endroits.
La question 6 montre que v(e'1) est un multiple de e'1, d'où la forme de la première colonne.
La question 7 montre (en admettant qu'il y a bien une erreur d'énoncé) que vect(e'2,e'3) est stable par v, c'est à dire que v(vect(e'2,e'3)) est inclus dans vect(e'2,e'3). Donc v(e'2) et v(e'3) appartiennent à vect(e'2,e'3), donc ne s'expriment qu'en fonction de e'2 et e'3. D'où les deux 0 sur la première ligne des 2ème et 3ème colonne de la matrice de v.

Ok je pense avoir compris , juste un truc aussi , là tu m'as dis :

"Là tu as u(v(x)) = v(x), donc v(x) est vecteur propre de u associé à la valeur propre 1, donc v(x) appartient à vect(e'2,e'3). "

Pourquoi ? Pourquoi v(x) n'appartiendrait pas a vect(e'1,e'2,e'3) ?

Merci encore franchement !

Ben c'est pas faux, mais ça on le savait déjà, vect(e'1,e'2,e'3) c'est E.

D'accord ! Donc si je comprends bien

v(e'1) = a e1
v(e'2) = be'2,de'2 ( car v(x) appartient a vect(e'2,e'3)
v(e'3)= ce'3,ee'3 car v(x) appartient a vect(e'2,e'3)
D'ou la forme de la matrice ?

Merci !!

Sinon j'ai encore 4 questions , j'ai commencé a les faire et je ne suis pas trop sur de mes réponses :\ Si tu as le temps de regarder bien sur !

10)Mq que (e1,u(e1)) est une famille libre . Mq que si x est un vecteur de coordonnées a , b , c dans la base b ALORS x appartient a vect(e1,u(e1) ssi 4b-c=0

11)On pose e"3=e1+e2+e3 . Mq que B"=(e1,u(e1),e"3)

=> Déja pour 10 j'ai fait quelques soit a et b appartenant a R

a(e1)+ b(u(e1) = a(e1)-2be1=0 => a = b = 0 donc libre ?
Apres je vois pas trop :\

Non v(e'2) = b*e'2 + d*e'3 et v(e'3) = c*e'2 + e*e'3.

Dans la question 10 tu travailles avec la base B, pas avec B'.
Dans la base B tu as e1 = (1,0,0) et u(e1) = (1/2,1/2,2) (en colonnes).

ah oui merci ! je vais essayer de travailler ça maintenant . Pour la question 11 je montre juste que la famille est libre ?

Merci encore

Je ne ferai pas des études de maths

Pour la question 11 tu dois montrer que B'' est une base ?

Si oui, il suffit effectivement de montrer que c'est une famille libre. Et comme (e1,u(e1)) est libre, il suffit en fait de montrer que e''3 n'appartient pas à vect(e1,u(e1)), ce qui est clair d'après la question précédente.

Pfff j'y arrive pas :\

J'ai réussi a montrer que (e1,u(e1)) est libre .
Maintenant je vois pas du tout la méthode pour établir que si x est un vecteur de coordonnnées a , b , c ds B alors x appartient a vect(e1,u(e1)) il y a une formule ou une méthode particuliere ?

Pour la 11 ) pourquoi cela est "clair" , c'est comme si x valait e3 en fait ? En fait mathématiquement cela donne quoi e1+e2+e3 dans cette question ?

Ce que tu dois montrer, c'est que (a,b,c) € vect(e1,u(e1)) <=> c = 4b.
Or (a,b,c) € vect(e1,u(e1)) <=> il existe deux réels µ1 et µ2 tels que µ1*e1 + µ2*u(e1) = (a,b,c).

Tu dois donc montrer que si de tels réels existent, c = 4b, et réciproquement, si c = 4b, de tels réels existent.

C'est clair parce que dans la base B, e1+e2+e3 = (1,1,1). Or 4*1 - 1 = 3 =/= 0. Donc d'après la question 10), e1+e2+e3 n'appartient pas à vect(e1,u(e1)).
Donc (e1,u(e1),e''3) est libre.

Bah écoute merci franchement j'aurai appris plein de truc aujourd'hui grâce a ton aide c'est vraiment cool!

Sinon une derniere petite question de méthode , pour une matrice de passage , je pose bien la matrice a coté de la matrice identité et je fais des calculs élementaires pour finalement la transformer en matrice identité et ainsi j'obtiendrai de l'autre matrice la matrice de passage c'est ça ?

Ah oui juste la question 9 avec : Mq que a²=-2 et conclure sur l'existence de V j'ai pas trop compris cette question !

Merci encore