Bonjour à tous ,
J'ai commencé à étudier les développements limités mais je bloque sur 2 questions de mon exercice ...

On me dit :
soit f la fonction définie par f(x) = √(1+x)+ x^3 sin(1/x) si x différent de 0 et f(o)=1

1) Montrer que f admet un DL2(o) et le déterminer
2) Peut-on en déduire que f'(0) et f''(0) existent ?

je me suis donc penché sur la question et mes résultats donnent :

1) Pour montrer que le DL existe, je sais comment faire avec les limites, mais ça prouve que f'(0) et f''(0) existent, or c'est la deuxième question donc je suis bloqué...

√(1+x)= 1 + (1/2)x - (1/8)x² + x² ε(x)
et
x^3 * sin(1/x) = 0 + 0x + 0x² + x² ε(x)

Donc le DL 2(0) , on calcule seulement le DL de √(1+x) (est-ce bon pour la détermination du DL ?)

2) Je ne comprend vraiment pas comment s'y prendre pour cette question et n'ai aucune piste... sauf celle des limites évoquée en 1)

Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance

Bonjour à tous ,
J'ai commencé à étudier les développements limités mais je bloque sur 2 questions de mon exercice ...

On me dit :
soit f la fonction définie par f(x) = sqrt(1+x)+ x^3 sin(1/x) si x différent de 0 et f(o)=1

1) Montrer que f admet un DL2(o) et le déterminer
2) Peut-on en déduire que f'(0) et f''(0) existent ?

je me suis donc penché sur la question et mes résultats donnent :

1) Pour montrer que le DL existe, je sais comment faire avec les limites, mais ça prouve que f'(0) et f''(0) existent, or c'est la deuxième question donc je suis bloqué...

sqrt(1+x)= 1 + (1/2)x - (1/8)x² + x² E(x)
et
x^3 * sin(1/x) = 0 + 0x + 0x² + x² E(x)

Donc le DL 2(0) , on calcule seulement le DL de sqrt(1+x)

2) Je ne comprend vraiment pas comment s'y prendre pour cette question et n'ai aucune piste...

Pourriez vous m'aider ?
Merci d'avance

voilà j'ai refait car les caractères ne sont pas pris en compte :
sqrt = racine de ( )
E(x) = epsilon(x)

f est la somme d'une fonction admettant un DL à l'ordre 2 en 0 et d'une fonction négligeable devant x² au voisinage de 0, donc f admet un DL d'ordre 2 en 0.

Pour la deuxième question, ça prouve l'existence de f'(0) mais pas celle de f''(0). D'ailleurs cette fonction est un bon contre exemple parce qu'elle admet un DL à l'ordre 2 en 0 mais n'est pas 2 fois dérivable en 0.

merci beaucoup

d'autres personnes pour appuyer cette réponse ?

sqrt(1+x)+ x^3 sin(1/x)

f(x) = 1 + x/2 - 1/8 x² + x^3*sin(1/x) + o(x²)

On pose g(x) = x^3*sin(1/x) , g(x)/x² ->0 quand x -> 0 donc g(x) = o(x²) et f(x) = 1 + x/2 - 1/8 x² + o(x²)