Bijour à tous

J'ai un petit problème avec un exercice :

"On considère l'équation E :

E = z^3 + (3-i)z² + (4-3i)z - 4i = 0

1. Verifier que i est solution de cette équation."

Donc pour cette question, aucun problème, j'ai remplacé "z" par "i", et j'ai trouvé 0.

Mais là :

"2. Déterminer les nombres réels a,b et c tq :

z^3 + (3-i)z² + (4-3i)z - 4i = (z-i)(az²+bz+c)

3. Résoudre l'équation E."

Ca a l'air d'être tout con, mais j'ai raté 2 jours de cours, donc j'ai peut-être pas la méthode

Donc j'aimerais pouvoir avoir une piste pour commencer

Merci beaucoup

Tu peux factoriser ton polynôme de degré 3 par 2 polynômes, un de degré 1 et un de degré 2 : (z-i) (az²+bz+c) ( vu que i est une solution ).

Ensuite il faut identifier le polynôme de gauche avec celui de droite. Développe ton bordel à gauche, réduis, regroupe tes termes selon x^3, x², x, et les constantes.

Ensuite tu identifies en disant que le coefficient de z^3 à gauche est égal à celui de droite, et ainsi de suite... Tu obtiens un système d'équations.

Regroupe tes termes selon z pardon. Fatigué

Et quand je factorise avec (z-i), j'aurai pas des quotients de l'autre côté, dans le polynôme de second degré ?
Parce que z^3 n'a pas de i, donc si je prends pour facteur (z-i), logiquement...

Y'a aucun quotient puisque tu développes.

Et z^3 = 1*z^3. Ici par exemple à droite, le seul terme en z^3 que tu auras est az^3. En identifiant on a donc a=1.

Oula décidément j'suis vraiment fatigué, j'avais pas vu sorry :

Je voulais dire développe le bordel à droite bien sûr

En fait je comprends pas pourquoi on met i dans la parenthèse

Sorry

Pour les polynômes complexes c'est pareil :

Si tu prends un polynôme réel de second degré ax²+bx+c, tu peux le factoriser par (x-x1)*(x-x2) avec x1 et x2 les deux racines du polynôme. Pareil pour le degré 3.

Ceci explique cela

Ah je savais pas

Mais là je comprends pas :

Dans :
z^3 + (3-i)z² + (4-3i)z - 4i = (z-i)(az²+bz+c)

b correspond au coef qui est devant z² dans la première équation c'est ça ?
Là c'est 3 ou 3-i ?

Et pour c, c'est 4 ou 4-3i ?

Merci

Ben 3-i et 4-3i, tu prends tout.

Et si tu as du (3-i)z² = (b-6i)z² ( je dis n'importe quoi ) on n'a pas b = 3-i hein, c'est b-6i = 3-i.

Ah ok

Merci

J'ai un autre problème, une petite question :

z(trigo) = (( V3 +V3i )/( 1-3Vi ))^6

Démontrer par récurrence que :

___ __
Z^n =(z)^n

Sachant que le conjugué d'un produit c'est le produit des conjugués, la récurrence est immédiate.

Merci

Et y a pas une technique pour calculer la valeur algébrique (( V3 +V3i )/( 1-3Vi ))^6 ?

Merci

Tu veux dire mettre ça sous forme algébrique (a+ib) ?

Oui voilà

Bonne chance pour mettre ça sous cette forme

En général quand on a des puissances comme ça on passe sous forme exponentielle.

C'est quoi ce 3Vi ?

iV3 non ?

On doit mettre sous une forme (a+ib)

La prof nous a dit que y a une technique

Ah oui pardon, iV3

Le truc dans la puissance mets le sous forme trigo, élève le à la puissance 6 avec Moivre, puis repasse sous forme algébrique.