Salut à tous

Ceci est on premier post sur ce forum, mais j'ai vraiment besoin d'aide

Donc j'ai commencé la spé math il y a 2 semaines, j'aime bien mais un des exos pose problème (et c'est pas un exo de fin de chapitre). Je précise que j'utiliserai le "=" au lieu des 3 barres horizontales pour l'ordinateur.

1. Vérifier que 5²=8 (mod 17)

Là je fais juste 25-8 = 17 qui est un multiple de 17 donc c'est bon.

2. En déduire que 5^4=-4 (mod 17) puis que 5^8=-1 (mod 17)

Bon là, 5^4=625, et ainsi 625-(-4)=629 soit 17*37.
De même pour 5^8=-1. Mais je ne pense pas avoir le bon raisonnement vu qu'il y a écrit "en déduire". Mais bon passons..

3. Quel est le reste de la division euclidienne par 17 de 5^16, et de 5^500 ?

Pour 5^16 je vois, mais 5^500 alors là je sèche... Si vous avez la réponse expliquez moi s'il vous plait comment vous avez fait

Merci par avance

"2. En déduire que 5^4=-4 (mod 17) puis que 5^8=-1 (mod 17) "

tu mets au carré "5²=8 (mod 17)" -> 5^4 = 64 (mod 17) = -4 (mod 17).

Puis encore au carré

D'accords merci je vois pour 5^8 et 5^16. Mais pour 5^500 ??

Up du soir, bonsoir

5^500=((5^16)^31)*5^4
or 5^16 est congru à 1 mod7
donc ((5^16)^31)est congru à 1^31 qui est congru à 1 mod 7
donc ((5^16)^31)*5^4 est congru à 1*5^4 mod 7 or 5^4 est congru à 2 mod 7
soit ((5^16)^31)*5^4 est congru à 2 mod 7
par conséquent, 5^500 est congru à 2 mod 7

5^500=((5^16)^31)*5^4 car 500=16*31+4 (div euclidienne de 500 par 16)