bon ben je tente,je suis en mathsup donc ce que je fais n'est peut être pas parfait mais bon

(z+1)^5=(1-z)^5
(z+1) est une racine 5ième de (1-z)^5
(1-z) est une racine 5 ième de (1-z)^5

D'où il existe w appartenant à Un tel que (z+1)=w(1-z)
donc z(1+w)=w-1
Pour w=1 pas de solution

Donc pour w appartenant à Un et différent de 1 on a z=(1+w)/(1-w)
Or les racines 5ième de 1 sont les e^((2ikpi)/5) avec k=0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4
Les sol de l'eq sont les
z=(1+e^((2ikpi)/5))/(1-e^(2ikpi/5)) pour k =1,2,3,4 (pas 0 sinon le dénominateur est nul)

donc z=
((e^(ikpi/5))*(e^(-ikpi/5)+e^(ikpi/5)))/((e^(ikpi/
5))*(e^(-ikpi/5)-e^(ikpi/5)))
z=(2cos(4pi/5))/(-2isin(kpi/5)) (euler)
donc z=(icos(kpi/5))/(sin(kpi/5))

Pour trouver les valeurs de z,tu remplaces z par 1,2,3,4 et tu auras tes solutions

Vérifiez mon calcul quand même et dîtes si à une partie mon raisonnement est faux.

Bonne journée

rectification:
toutes les fois où j'ai marqué Un,je me suis gouré c'est U5 qui signifie l'ensemble des racines 5ièmes de 1
voilà

aussi,au tout début,il faut dire que quand z=1 pas de sol,en effet si (1-z)^5=0 alors z=-1
or (-1)^n=/=0 donc (1-z)^5=/=0

j'espère être clair

(1-z)^5 = 0 ssi z=1

ui étourderie blue,mais le raisonnement reste le même

nan mais avec les racines cinquième je l'ai fait lors de ma première question

la seconde est de résoudre directement l'équation

ben en appliquant numériquement tu trouves
z1=(icos(pi/5))/(sin(pi/5)
z2=(icos(2pi/5)/(sin(2pi/5))
z3=(icos(3pi/5)/(sin(3pi/5))
z4=(icos(4pi/5)/(sin(4pi/5))

après véridication ça vérifie bien (1+z)^5=(1-z)^5

je suis d'accord mais dans la dernière question, il faut en déduire tan(pi/5) et tan(2pi/5) donc j'en déduit qu'il ne faut pas utiliser les racines cinquièmes pour cette question