Comment faire pour étudier la convergence sin(n)/n ?

j'ai essayé de la majorée mais c'est inutile, quelqu'un a une idée?

Merci

ça ne marche pas que pour les fonctions de signe constant ça?

La série ne converge pas absolument, mais tu devrait pouvoir prouver la semi convergence avec une transformation d'Abel

Tu n'as pas le théorème qui dit que si ça converge en valeur absolue (série de t.g. |a_n|), alors ça converge (série de t.g. a_n) ?

PS: offre valable sous hypothèses, mais là l'espace c'est R donc tout se passe bien.

Comment on peut justifier que sa converge en valeur absolue ?

En disant que pour tout n € N, |sin(n)| < 1, donc |sin(n)|/n ~ 1/n^alpha, avec alpha > 1 ?

C'est pas un peu crade de faire comme ça, en disant que comme ce qu'il y a en haut c'est plus petit que 1, alors on peut le rendre équivalent à une série de Riemann avec alpha > 1 ?

On peut utiliser quelle autre méthode ?

PS : oui c'est pas mon topic, mais bon, je viens squatter pour réviser mes partiels

Bref, je n'ai pas du être assez clair:
LA SERIE NE CONVERGE PAS ABSOLUMENT

Par contre, c'est assez crade à prouver, et je n'ai pas très envie de le faire.

Pour montrer la semi-convergence, on se sert du fait que Sn=somme(sin(n)) est bornée (en disant que c'est la partie imaginaire d'une série géométrique...), on écrit sin(n)=Sn+1 - Sn, puis transformation d'Abel

Pfiou, j'suis pas réveillé (il est pourtant déjà tard). J'avais lu sin(n)/n² …

Effectivement, comme le dit mon voisin du dessus, tu peux appliquer une transformation d'Abel, borner la somme des sin(n) (en calculant la somme via celle des exp(in) ), et tu tombes alors sur un reste qui tend vers 0 et une série des (1/(n+1) - 1/n) qui converge.

dougthehead: pourquoi semi-convergence ?

Je veux dire… on ne montre que la convergence avec ce que tu as dis.

semi convergence=convergence de la série sans absolue convergence

Comment on montre que ça converge pas absolument d'ailleurs ?

En gros, faut réussir à minorer la valeur absolue du sinus sur un ensemble {an, n€N} qui vérifie somme(1/an) divergente

En gros faut montrer qu'il existe un epsilon > 0 et une sous-partie J de N tels que pour tout n dans J, |sin(n)| > epsilon et somme sur n € J des 1/n diverge ?

Voilà.

Tu peux prendre epsilon = 1/2 d'ailleurs. Après, c'est juste une question de récupérer une suite d'entiers dont le sinus est plus grand que 1/2 et qui grossissent de façon linéaire.

Tu veux dire que pour k naturel assez grand, la suite (|sin(kn)|)_{n€N} n'a aucun terme plus petit que 1/2 ?

En découpant l'intégrale en supports de longueur pi et en faisant un changement de variable, on minore facilement par un terme équivalent à celui de la série harmonique.

Par « grossir de façon linéraire », j'entendais que la suite était équivalente à kn pour un certain k. Mais tu ne peux pas prendre une suite complétement linéaire (u_n = k.n), ça ne marchera pas.

Non. Mais c'est juste que le sin tourne de façon suffisamment régulière donc il passera souvent au dessus d'1/2. Après rien ne t'empêche de prendre epsilon suffisamment petit de sorte qu'un terme sur deux du sinus soit plus grand qu'epsilon e valeur absolue

Morphisme: ce que tu dis me fais penser à …

|sin(n)|/n >= sin²(n)/n = 1/2n - cos(2n)/2n.
Comme la série de t.g. cos(2n)/2n converge (refaire comme pour sin(n)/n) et que l'autre c'est la série harmonique, la série de t.g. |sin(n)|/n diverge.

Ah oui ça me semblait louche aussi...
Mais comment prouver l'existence d'une telle suite ?

"|sin(n)|/n >= sin²(n)/n = 1/2n - cos(2n)/2n.
Comme la série de t.g. cos(2n)/2n converge (refaire comme pour sin(n)/n) et que l'autre c'est la série harmonique, la série de t.g. |sin(n)|/n diverge. "

J'aurais dû penser à ça, en plus je connaissais la même démo pour la divergence de l'intégrale de |sin(x)|/x.