Bonjour!
http://www.pcsi-perrin.com/wp-content/uploads/2011/04/devoir-libre-14.pdf
Je bloque à la question 3) du problème Une idée ? Merci d'avance!

Si f est injectif, c'est un isomorphisme, donc f² aussi, donc phi est un isomorphisme. Ce qui est faux puisque Jn n'est pas inversible. Donc f n'est pas injective, donc son noyau est de dimension >= 1. Or ker phi est de dimension 1 (théorème du rang), et ker f inclus dans ker phi. Donc ker f = ker phi.

T'es dans la classe à Laetitia ?

Tiens salut Cédric/JF.

SexyCamion Sachant que l'auteur est dans ma classe, oui, elle est dans notre classe.

Salutations laurent!

Ah ok les retrouvailles

Des théories pour la question 4)c svp ?

Prauron: Merci bcp pr ta réponse, ça m'a débloqué !

Aide toi des formules de changements de bases pour la 4)c), aussi bien sur A que sur M, et tu devrais arriver sur un cas particulier de l'étude faite sur les 3 questions précédentes normalement

Juste comme ça, l'auteur, vous faîtes quoi en SI?

• Cinématique
• Statique
• Asservissement

Et on va bientot commencer l'automatique.

Sinon Cédric, je bloque au même point que toi, sur l'autre topic, un forumeur m'a donné comme indice :

[Dracs]
Posté le 22 avril 2011 à 12:17:16 Pour la 3ème, c'est juste que l'existence de M tq M²=A est équivalent à l'existence d'une matrice M' tq M'²=A'.
Le changement d'inconnue, c'est chercher M' au lieu de M.

Dans le problème, question 3), tu en déduis quoi exactement ? Que M n'existe pas ?

On déduit que l'équation n'admet pas de solutions je pense.

Ne regardez pas si vous ne voulez pas de spoil

On note N = Mat[B,B'] (id)
et N' = Mat[B',B] (id) où id désigne l'application identité dans R^3.

Donc A = N'A'N et on note M' = NMN'.
Donc M = N'M'N

M² = A <=> N'M'NN'M'N = N'A'N
<=> M'²= A'

Or A' = J2 et d'après les questions précédentes, M' ne peut pas exister.
Donc M n'existe pas.

Merci pour ta réponse, mais je ne vois pas "d'après les questions précédentes, M' ne peut pas exister." et quel est le rapport avec le fait que f ne soit pas injective ?

Le fait que f ne soit pas injectif te permet te dire que Ker f = Ker phi.
Ensuite quand les questions se succèdent, tu as déduit que E = Ker phi + Im phi (car, si je ne me suis pas trompé, Im phi = Im f) ce qui est faux car e1 appartient au Ker phi et à Im phi.
Donc il y a une contradiction, donc tu n'avais pas le droit de supposer quelque chose. La seule chose qu'on a supposé, c'est l'existence de M telle que M² = Jn. Donc M n'existe pas.

Après dans l'application, tu arrives à l'égalité M'² = A' dont j'ai parlé plus haut.
Cependant A', si tu l'as calculé, tu remarques que c'est J2, donc c'est un cas particulier de l'étude faite dans les trois premières questions. Donc M' ne peut pas exister.

Merci pour ta réponse! Mais pour la question 3)a, comment fais tu pour déduire que E=Ker phi + Im phi ?
Merci d'avance

On a E = ker f + Im f d'après la question a).
On a aussi montré que ker f = ker phi.

De E = ker f + Im f on tire dim Im f = n - dim ker f = n - dim ker phi = dim Im phi (théorème du rang).

Im f et Im phi sont de même dimension et l'un est inclus dans l'autre. Donc ils sont égaux. Donc E = ker f + Im f <=> E = ker phi + Im phi.
Or la somme ker phi + Im phi ne peut pas être directe puisque e1 appartient à Im phi inter ker phi.

Désolé, mon raisonnement est il faux ?

M'² = A'

Trivialement M' = ( 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 ) car A' est une matrice nilpotente d'ordre 3 donc M' nécéssairement nilpotent d'ordre 4.

Donc M' = I(n)

Donc M'² = I(n) =/= A' contradiction.

Prauron Attention, j'ai posté extactement la même chose que toi sur un forum du moins je pense :

On a prouvé E = ker (+) Im = kerf (+) Imf

Or kerf = ker donc on a forcement Imf = Im Phi

Déjà, à partir de là, on m'a dit que j'avais faux car "Non Imf+Kerf=Im(phi)+Ker(phi) et Ker(phi)=Ker(f) n'implique pas Im(f)=Im(phi) car il n'y a pas unicité du supplémentaire ."

"car A' est une matrice nilpotente d'ordre 3 donc M' nécéssairement nilpotent d'ordre 4."

Je retire les ' pour une lecture plus facile.
Tu dis que M est nilpotente d'indice 4.
Donc M^4=0 or M^4 = (M^2)^2 = A^2
Donc A^2 = 0 donc A est nilpotente d'indice 2, ce qui est une contradiction vu qu'elle est nilpotente d'indice 3.
Donc le théorème que tu as utilisé n'existe pas

Ensuite pour le noyau et l'image, tu sais déjà que :
Ker f = Ker phi
Im phi inclus dans Im f (donc n-1 = rg phi <= rg f)

Théorème du rang : dim Ker f + rg f = dim E = n
donc n = dim Ker phi + rg f = 1 + rg f
donc rg f = n-1

Donc rg f = rg phi et l'un est inclus dans l'autre, donc ce sont les mêmes. Donc Im f = Im phi.

Il faut donc utiliser plusieurs autres outils avant de déduire cette égalité.