Non, f^(n+1) = ( f^(n) )'

Et il faut utiliser un RAISONNEMENT PAR RECURRENCE

À chaque fois, on rajoute 2x et a ?

f^n = (x²+ax+1)e^x
f^(n+1) = [x²+(ax+2x)+a]e^x

• f^(n+1) = [x²+(ax+2x)+b]e^x

a_n = a indice n

(a_(n+1))x = (a_n)x + 2x

C'est bon ?

Pour b indice (n+1), j'ai trouvé b indice n + a indice n.

f^n = (x² + a_n * x + b_n)e^x

f^(n+1) = (x² + a_n * x + b_n)e^x + (2x + a_n)e^x
=(x² + (a_n + 2)x + (b_n + a_n) )e^x

Ce que tu as trouvé est donc juste, et la propriété est héréditaire puisqu'on obtient bien e^x multiplié par un polynome du second degré.
Reste à montrer qu'elle est vraie pour tout n>1, ce que tu as fais en prouvant qu'elle est héréditaire et vraie au rang 1.

Un exercice un peu plus intéressant aurait pu être de demander directement l'expression de la derivée n-ième en fonction de n.

2. On considère les suites (a indice n) et (b indice n) définies sur N* par :
- a1=3 et a(n+1) = an + 2
- b1 = 2 et b(n+1) = bn + an

a) Vérifiez que la suite (an) est une suite arithmétique et déduisez-en a_n en fonction de n.

a1=3 et a(n+1) = an +2 donc la suite (an) est une suite arithmétique de raison 2. Mais comment on trouve an ?

Avec la raison et le premier terme d'une suite arithmétique, ton cours te permettra facilement de trouver le terme général de la suite.

an = 2(n-1)+3 = 2n-2+3 = 2n+1

C'est bon ?

Oui

b) Démontrez que bn = 2 + somme a indice i. i=1 n-1
Déduisez-en bn en fonction de n.

b(n+1) = bn + an

bn = a(n-1) + b(n-1)

Je bloque.

bn = a(n-1) + b(n-1) = a(n-1) + a(n-2) + b(n-2) = a(n-1) + a(n-2) + a(n-3) + b(n-3) = a(n-1) + a(n-2) + ... + a2 + a1 +b1

bn = a(n-1) + a(n-2) + ... + a2 + a1 + b1

b1 = 2 donc bn = 2 + somme a indice i

C'est bon ou y a une erreur ?

C'est ce que tu dois trouver

Donc y a pas d'erreur ?