f est la fonction définie sur R par f(x) = (x^2 + x+ 1)e^x
On note f^(1), f^(2), ..., f^(n) ses dérivées successives. On dit que f(n) est la dérivée « n-ième » de f. De même f^(1) est la dérivée notée habituellement f'.

1.a) Calculez f^(1)(x).
b) Démontrez par récurrence que f^(n)(x) s’écrit sous la forme ( x^2 + a_nx +b_n)e^x où a_n et b_n sont des entiers naturels.

a_n = a indice n

Qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire?

u(x)= x²+x+1
u'(x)= 2x+1

v(x)=e^x
v'(x)=(e^x)'= x'e^x = 1*e^x = e^x

f^(1)(x) = f'(x) = uv'+u'v = (x²+x+1)e^x + (2x+1)e^x

C'est juste ?

Oui, et tu peux factoriser par e^x pour bien voir ce qu'on te demande ensuite

e^x[(x²+x+1)+(2x+1)]

Pour f^(2)(x), j'ai trouvé (x²+5x+5)e^x. C'est bon ?

On ne demande pas de calculer f''(x)

Il faut démontrer par récurrence ?
Il faut prouver que si f^n est vraie, f^(n+1) est vraie ?

C'est écrit dans l'énoncé

(x^2 + (a_n)x + b_n)e^x = [(x²+x+1)+(2x+1)]e^x ?

Dans le cas où n=1, oui...

Enfin il faut regrouper les termes en x et les constantes pour bien faire apparaitre la forme d'un trinôme du second degré.

f'(x) = f(x) + u'(x)

Il faut calculer f'' ?

Comme l'énoncé le dit, et comme tu l'a répété, il faut faire un raisonnement par récurrence...

Il faut prouver qui f^(n) se met sous la forme indiquée, alors f^(n+1)=[ f^(n) ]' (la dérivée de f^(n) ) se met aussi sous cette forme

que si f^(n) ***

f^(1)(x) = f'(x) = [(x²+x+1)+(2x+1)]e^x = (x²+3x+2)e^x
f^(2)(x) = f''(x) = f' + (x²+3x+2)'e^x = f' + (2x+3)e^x

C'est bien, t'as encore une infinité de calcul à faire si tu veux prouver la propriété pour tout n de IN

f'=(f^n)' ?

Une infinité dénombrable de calculs, c'est toujours ça.

f(x) = (x²+x+1)e^x
f^(1)(x) = (x²+3x+2)e^x
f^(2)(x) = (x²+5x+5)e^x
f^(3)(x) = (x²+7x+10)e^x