Bonjour, j'ai eu quelques exos sur les intégrales et il m'en reste 2 sur lesquels je ne sais pas par où débuter.

Je vous les mets :

1. Déterminer la limite lorsque n tend vers +oo de
int(n²(x^n - x^(n+1)) f(x) dx, x = 0..1)

f étant une fonction [0,1] -> R continue

2. Pour x € ]0;+oo[ et z€C tel que Re(z) < 0,
Calculer int( t^(x-1) exp(zt) dt , t = 0 .. +oo)

Merci d'avance.

Pour la première tu n'as aucune hypothèse sur f ?

La deuxième fait fortement penser à gamma. Tu ne pourrais pas t'y ramener par un changement de variable ?

@Prau : Non pas d'autres hypothèses pour f.

@Captain_Barbell : Pourquoi pas, je vais chercher de ce côté là. Merci.

Ah j'avais pas vu l'hypothèse de continuité.

Donc si je fais :

I =
| int(n²(x^n - x^(n+1)) f(1), x = 0..1) - int(n²(x^n - x^(n+1)) f(x) dx, x = 0..1) |

<= int( n²(x^n - x^(n+1)) |f(1) - f(x)| dx , x = 0 ..1 )

f étant continue en 1,
pour tout e > 0, on peut trouver un r € [0,1] tel que pour tout x € [1-r,1], |f(x)-f(r)| <= e

donc | int(n²(x^n - x^(n+1)) f(1), x = 1-r..1) - int(n²(x^n - x^(n+1)) f(x) dx, x = 1-r..1) |

<= e * int(n²(x^n - x^(n+1)) dx, x = 1-r..1)
<= e * int(n²(x^n - x^(n+1)) dx, x = 0..1)
= e * n² ( (n+2-n-1)/((n+1)(n+2))
= e n²/((n+1)(n+2)

Comme f est bornée,
int( n²(x^n - x^(n+1)) |f(1) - f(x)|, x = 0.. 1-r)
<= 2 * int( n²(x^n - x^(n+1)) sup |f|, x = 0.. 1-r)

en notant M = sup |f|, et comme on est sur [0,1]
<= 2 n² M * int( x^n , x = 0.. 1-r) qui tend vers 0....

Voilà, je crois que c'est bon.
Après I tend vers 0.

Tu as une autre astuce pour le 2eme exo ???

Je vois pas trop quoi prendre pour un changement de variable.

Oula ça me paraît bien compliqué tout ça.
Pourquoi tu cherches à majorer | int(n²(x^n - x^(n+1)) f(1), x = 0..1) - int(n²(x^n - x^(n+1)) f(x) dx, x = 0..1) | ?

Et puis à la fin ton truc il tend vers +infini.

Non vers f(1)

Oui voilà, en fait j'ai prouvé que I tend vers 0

donc int(n²(x^n - x^(n+1)) f(x) dx, x = 0..1)

tend vers int(n²(x^n - x^(n+1)) f(1) dx, x = 0..1)

qui tend vers f(1)

Le dernier terme

2 n² M * int( x^n , x = 0.. 1-r)
= 2n²M (1-r)^(n+1) / (n+1)

tend vers 0, non ?

Trop tard.

Ouais y'a peut être une démo dans le genre utilisant l'uniforme continuité.

Mais maintenant je passe au 2eme exo.. Ou sinon au pire, je m'arrête là.

Pour la 1, tu peux montrer que l'intégrale converge vers 0 comme suit:
1) Pour tout x€ [0,1[ n^2(x^n-x^(n+1)) tends vers 0.
2) La suite de fonctions
f_n (x) = n^2(x^n-x^(n+1))f(x) tends uniformément vers 0 sur [0,1[.
3) Calcul de l'intégrale : on permute limite et intégrale (ça marche car la convergence de la suite f_n est uniforme), ce qui donne que la limite de l'intégrale vaut 0.

Justifie l'existence d'abord.

Ouais critère de Riemann + th d'équivalence pour ]0,1]
puis limite en +oo pour prouver que c'est intégrable sur ]0,+oo[

Après sépare la partie réelle et imaginaire de z, ça t'amènera à une équa diff et faudra exprimer le résultat en fonction de gamma.

k merci mais j'arrête là.
6 exos sur 7 dont 3 facultatifs (celui compris) ça va

Je reviendrai si le prof donne pas de correction.

Quelle equa diff ?

En passant j'ai pas répondu à la question :
"Pourquoi tu cherches à majorer | int(n²(x^n - x^(n+1)) f(1), x = 0..1) - int(n²(x^n - x^(n+1)) f(x) dx, x = 0..1) | ? "

C'est fait "à tatillons" en testant plusieurs fonctions f. Et ca tombe bien que ça marche.

A tatillons ? A tâtons plutôt

La présence du "illons" renforce l'image des petites oscillations lors de la recherche de solution.

...
Erf, je croyais que ça se disait...

Sur google, je suis pas le seul à faire cette erreur. Sauvé.

C'est bon j'ai trouvé pour le 2eme. Merci à vous.