Bonjour à tous !

Je dois rendre mon DM hebdomadaire lundi mais je bloque sur deux des quatre exercices... Pour le moment, je vous demanderais de vous intéresser au premier seulement

Tout d'abord le devoir :
http://s2.noelshack.com/uploads/images/13904402620680_devoir.jpg

J'ai bien sûr commencé à chercher et voilà ce que je trouve :
(-Un)^3+2Un
-----------
Un²+1

Alors le dénominateur est forcément positif avec le carré mais ne connaissant pas la valeur de Un, comment trouver le signe du numérateur ?
Mon raisonnement n'est-il pas du tout le bon ? Le but étant de trouver si (Un) est croissante ou décroissante afin de dire que U0 est le minorant ou le majorant de cette suite et ensuite, par je ne sais pas encore quel moyen, déterminez l'autre extremum.

Je voulais préciser que j'ai essayé de factoriser de multiples façons mais rien ne m'a aidé. On m'a aussi proposé de dire que Un+1=f(Un) et de calculer la dérivée de f(Un) mais, à mon sens, c'est inutile puisque on aura le sens de variation de (Un+1) et non de (Un)...

Merci d'avance pour votre aide !

Si tu montres que Un>0 et que la suite est décroissante (Un+1 - Un) tu as finis.

Oui, mais justement, comment montrer que Un>0 ?

Récurence ?

Donc par récurrence, je trouve bien que Un > 0
Je dis ensuite que Un >0 et que U0=2 donc le numérateur de ma fraction (celle dans mon premier post) est négatif, est-ce que j'ai bien le droit ?
Et donc j'en déduis que Un+1-Un < 0 donc(Un) décroissante

Donc en fait, au lieu de faire Un+1-Un, j'ai fait (Un+1)/Un et de cette manière je trouve que (Un) est décroissante. Ensuite je me suis débrouillé pour trouver le majorant (facile) et le minorant. Merci pour ton aide SuperMachoMan !

A présent, c'est l'exercice 2 qui me turlupine. Je suis dessus depuis hier 17h et impossible
Bref, je vous mettrai le début de mon raisonnement un peu plus tard car je pars de chez moi.

L'exo 2 c'est facile, fais ça par récurrence.

Bonjour à tous !

Je me suis dont remis sur mon exercice 2 et voilà ce que je trouve :

Mon hypothèse (Hn) : sin^(n)(x) = sin (x+(n*pi/2)) quel que soit n dans N*

-Initialisation : Montrons que (H1) vraie.

sin(x)=(sin(x))'=cos(x)
sin(x+(1*pi/2)) = cos(x)

donc sin(x)=sin(x+(pi/2))

Donc (H1) vraie.

-Hérédité : On suppose qu'il existe nEN* tel que (Hn) vraie :
sin^(n)(x) = sin (x+(n*pi/2))

Et on veut montrer que (Hn+1) vraie :

sin^(n+1)(x) =sin(x+(n+1)*(pi/2)

A partir de là, je bloque !
Je sais que pour passer de (Hn) à (Hn+1), il faut dériver (Hn) des deux côtés de l'égalité, mais de quelle manière ?

Merci d'avance !

Pour montrer que Un est bornée tu montres qu'elle est convergente, car toute suite convergente est bornée.

Attention: la réciproque est fausse !

Quand tu écris : "sin^(n+1)(x) =sin(x+(n+1)*(pi/2) " c'est exactement H(n+1).

Il faut partir de sin^(n)(x) = sin(x+nPi/2) et dériver une fois l'égalité.

@Prauron :
"Quand tu écris : "sin^(n+1)(x) =sin(x+(n+1)*(pi/2) " c'est exactement H(n+1)."
Oui je sais bien, c'est ma façon de présenter une démonstration par récurrence qui veut ça (enfin la façon de ma prof' quoi ) En fait c'est pour montrer le but à atteindre.

Alors, en fait, tu me dis de dériver "sin^(n)(x) = sin(x+nPi/2)" ? Mais justement, je n'y arrive pas. Et ce, à cause des "n". Et puis même, je ne sais pas dériver les puissances de sin, enfin si je crois avoir trouvé la méthode avec la formule suivante : (u(x)^n)' = n*u'(x)*u(x)^n-1
Malgré cela, je bloque toujours :-/

C'est pas une puissance, ça veut dire "dérivée n-ième" !

J'avais mal appliqué la formule, il me semble. Donc je trouve:

(sin^n(x))' = n*cos(x)*sin^(n-1)(x)

Et après, je ne vois toujours pas quoi faire, mais je continue à chercher

"C'est pas une puissance, ça veut dire "dérivée n-ième" ! " Oui mais je ne sais pas commenter noter ça autrement qu'en mettant une puissance

Comment* et non "commenter"

Non mais c'est juste une notation, ça veut pas dire que le sinus est élevé à la puissance n, donc il faut pas utiliser la formule (u^n)'...

Ah d'accord, merci pour l'explication
Mais comment je dérive puisqu'il y a du n dans l'expression ? C'est ça que je n'ai pas compris/appris.

Partons de l'hypothèse de récurrence : sin^(n)(x) = sin(x+nPi/2)
Dérivons cette égalité, c'est à dire dérivons membre à membre.

Le membre de gauche c'est la dérivée n-ième de la fonction sinus. Si tu la dérives encore une fois ça donne la dérivée n+1-ième, qu'on note sin^(n+1).

Le membre de droite c'est une fonction composée. C'est de la forme sin(u), donc la dérivée est u'*cos(u). Ici u(x) = x+nPi/2, donc u'(x) = 1.
La dérivée du membre de droite est donc cos(x+nPi/2). or cos(X) = sin(X+Pi/2).
Donc cos(x+nPi/2) = sin(x+nPi/2+Pi/2) = sin(x+(n+1)Pi/2).

On a finalement sin^(n+1)(x) = sin(x+(n+1)Pi/2), ce qui donne H(n+1).

Ouah ! Je n'en demandais pas tant, mais je ne vais pas me plaindre ! Je réfléchis à tout ça, je le refais sur ma feuille pas à pas, et je reviens vers toi. Merci

Là j'ai expliqué en détails mais en vrai ça tient en une ligne.