Bonjour à tous. Je suis en MPSI et j'ai un DM à faire.

Je bloque à une question, que voici :

On considère E un K-espace vectoriel, et u une application de L(E) telle que u^3 (ou u o u o u)= id.

Alors on doit d'abord prouver que (u - id) o (u² + u + id ) = 0, mais ça c'est pas compliqué.

Ensuite il faut prouver que E = ker(u - id) + ker (u² + u + id) la somme étant directe, et là je bloque .

Quelqu'un aurait-il l'obligeance de m'aider ?

Merci

une application de L(E) telle que u^3 (ou u o u o u)= id.

C'est pas très lisible, je recommence :

u^3 (ou "u o u o u")= id.

La démonstration générale est donnée dans le lemme des noyaux : http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_des_noyaux

Ici, P=X^3-1 se décompose en P1=X²+X+1 et P2=X-1 qui sont premiers entre eux.

Voilà, si tu comprends toujours pas avec ça, demande ^^

J'avoue...

Il faudrait donc trouver x sour la forme x = a + b, avec a dans ker(u - id) et b dans ker(u² + u + id)... Mais ensuite...

Je comprends pas ta question..
Tout est expliqué dans le paragraphe "Initialisation"
Tu prends P=X^3-1. Tu as donc P(u)=u^3-Id=0 d'après ton exercice. Or P=P1*P2 avec P1=X-1 et P2=X²+X+1
Après tu suis tout ce qui est écrit sur Wikipedia.

Okay j'ai saisi le lemme !

Disons que je n'avais pas compris parce qu'on a pas encore étudié le lemme des noyaux : pour répondre on devait décomposer x sous la forme de a + b avec a dans ker(u - id) et b dans ker(u² + u + id).

Sinon cette démo est cool. Deux polynômes premiers entre eux par contre... ?

Si son prof demande ça en MPSI, c'est qu'il attend une autre méthode.

C'est vrai que le lemme des noyaux c'est de la Spé !
Cette méthode m'a sauté à l'esprit.. ya sans doute un autre moyen pour toi

Tu considères x de E.
Tu écris x = a+b avec a dans ker (u-id) et b dans l'autre.
alors u(x)=a+u(b)
et u²(x)=a+u²(b)

alors en faisant la somme, tu obtiens 3a=x+u(x)+u²(x)
Maintenant, reste à vérifier que x-a est bien dans l'ensemble considéré.
Attention, ça c'est juste la démarche pour "trouver" a et b. Il faut ensuite montrer que l'écriture retrouvée est bien correcte.

PS: On voit très bien avec cette méthode que la solution trouvée est unique : la somme est tout de suite directe.