Bonjour à tous.

J'ai un DM à rendre à la rentrée, mais je bloque sur certains points, en voici une partie :
V(..) : Racine carré

f est la fonction définie sur R+ par : f(x)=xV(x)-3x²/16.
On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O, i, j) du plan.

1) Déterminer les ensembles de dèf' et de dériv' de la fonction.
f définie sur [0;+infini[ et dérivable sur ]0;+infini[
, a première vue.

2) Calculer f'(x), puis déterminer son signe sur ]0;+infini[
J'ai trouvé f'(x)= (16-12xV(x))/32V(x), merci de vérifier.

Et j'ai pas trouvé son signe.

Voilà pour un début, merci de m'aider.

Cordialement.

Pour m'assurer de la validité de la fonction :

f(x) = x.V(x)-(3x²/16)

J'ai pas tout à fait la même dérivée que toi (j'ai peut-être fait une erreur).

Pour avoir le signe de ta dérivée, pense à séparer le termes dans ta dérivée (explose ta fraction). Un petit changement de variable sera ensuite nécessaire.

J'ai vérifié mon calcul, il 'a l'air correct.

N'oublie pas que :

[u(x)*v(x)]'=u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x)

Pour trouver la dérivée, j'ai fait la méthode suivante :

f= u/v

u(x)= 16x.V(x)-4x²         u'(x)= (16/2V(x))-6x
v(x)=16                           v'(x)= 0

Ensuite :
f'= ( u'v - v'u ) / v²
f'(x)= ((( 16 / 2V(x) ) - 6x).16) / 16²
J'enlève un 16 de chaque côté :
f'(x)= (( 16/2V(x) ) - 6x) / 16
f'(x)= ( 16-12x.V(x) ) / 32.V(x)

Voilà pour moi.

Ensuite, pour le signe :
J'ai entamé mon tableau de signes, mais je suis tombé sur un hic :
16 - 12x.V(x)=0
x.V(x)= -4/3 ; Je n'arrive pas à aller + loin.

32.V(x) = 0
V(x)=0

Tu t'emmerdes pour rien.

f(x) = g(x) + h(x)
avec g(x) = x*sqrt(x) et h(x) -3x²/16

Tu sommes les dérivées g' et h' pour avoir f'.

D'ailleurs, avec ta méthode, tu t'es trompé pour le calcul de u'(x).
Tu devrais trouver 24*sqrt(x)-6x

Je me suis trompé dans ma notation :
u(x)=16x.V(x)-3x² et non -4x²

J'avais bien compris que c'était un 3 et non un 4.
Et justement, avec le 3, ton calcul est faux.

Pour trouver ton erreur, dis-moi : comment tu t'y es pris pour calculer u' ?

En utilisant ta méthode avec g(x) et h(x), f'(x) est toujours égale au même résultat.

La dérivée de x.V(x) est bien égale à 1/2.V(x) (la même que V(x) ) ?

Non. xVx est de la forme (uv)'=u'v+uv' avec u=x et v=V(x)

Pour calculer u'(x) :

u(x) = 16x.V(x)-3x²

u'(x) = 16.1.(1/2V(x)) - 3.2x

J'ai appliqué les formules pour toutes les composantes de l'opération.

Blue C'est donc de là que vient mon erreur !

Donc :

Pour utiliser la méthode avec g(x) et h(x) :

g(x) = x.V(x)

g'(x) = V(x) + x. 1/2V(x)
g'(x) = (2x+x)/2.V(x) ?

Le hérisson bleu a répondu à la question.

C'est ça, mais simplifie davantage.

D'ailleurs, tout bien considéré, le changement de variable ne sera pas forcément nécessaire (ça dépendra de ta simplification).

Je tombe là-dessus :
f'(x)= ((2x+x)/2V(x))-6x/16
= (24x - 6x.V(x)) / 16V(x)
= (12x - 3x.V(x)) / 8V(x)

La dérivée est correcte.

Par contre, tout bien re-considéré, le changement de variable sera nécessaire

Explose ta fraction et simplifie tout ça.

En reprenant mon calcul, ça me donne :

(xV(x))'= V(x) + (x/2V(x)) = V(x)+(V(x)/2) = 3.V(x)/2

(-3x²/16)' = -6x/16 = -3x/8

f'(x) = 3.V(x)/2 - 3x/8
= 3.V(x)/2 ( 1-(V(x)/4))

Et voilà pour le début