Bonsoir (Bonjour) tout le monde.
Avant d'entrer dans le monde cruel et sans pitié des mathématiques ^^ je tiens à vous souhaiter mes meilleurs voeux pour 2010

http://moe.mabul.org/up/moe/2010/01/02/img-015203x2ra9.jpg

Voilà j'ai déjà fait les 3 premières questions, mais je ne sais vraiment pas quoi faire mais alors pas du tout dans le 4).

Pouvez vous m'aider s'il vous plait car je suis vraiment bloqué là ^^

Merci de me répondre.
asm71.

Récurrence ?

Tu peux démarrer par ça :
Uk+1 > Uk >= 1

!? je ne comprend pas.

Je sais pas si ça peut aider mais d'après le raisonnement par récurrence : Un > 0 pour tout naturel n>0.
(La suite est croissante)

Suite strictement croissante, donc :
Uk+1 > Uk
Et Uk >= U0
Donc : Uk >= 1
D'où :
Uk+1 >= Uk >= 1

Au fait :
Démontrer que : 2 <= (Uk+1)²-(Uk)² <= 2+Uk+1-Uk
Revient à démontrer que :
2 <= (1/Uk)² <= 2+1/Uk
Parce que : (Uk+1)²-(Uk)² = (Uk +1/Uk)²-(Uk)² = (Uk)²+(1/Uk)²-(Uk)² = (1/Uk)²
Et : 2+Uk+1-Uk = 2+Uk+1/Uk-Uk = 2+1/Uk

Uk >= 1 0 <= 1/Uk <= 1 0 <= (1/Uk)² <= 1 1/Uk <= (1/Uk²) <= 1+1/Uk
Donc : 1/Uk <= (1/Uk)² <= 2 +1/Uk
Càd : 1/Uk -2 <= (1/Uk²)-2 <= 1/Uk
Et on sait que : 0 <= 1/Uk -2 <= 1/Uk -2
Donc : -2 <= (1/Uk²)-2 <= 1/Uk
D'où : 0 <= (1/Uk)² <= 2+1/Uk
Et d'après ce que je t'ai dit dans mon précédent post, on conlut que :
2 <= (Uk+1)²-(Uk)² <= 2+Uk+1-Uk

Oublie les lignes 3, 4 et 5. Tu peux sauter direct à la 6 car : 0 <= 1/Uk
J'étais un peu étourdi.

Ah oui quand même, j'aurai jamais trouvé ça ^^
Je comprend ton raisonnement mais je n'arrive pas à déduire que 2n <=(Un)²-1 <=2n+Un-1..

Pour après, prouver que (Un) diverge vers +infini.
Il y a certainement un calcul de limite mais quoi exactement, ça je ne sais pas.

Je te remercie, bonne nuit. ^^

Pour la 5), je bloque aussi. =/
Pour la 6), si (Un) est divergente vers +oo, alors :
lim _(n -> +oo) (Un) = +oo

J'ai retrouvé un papier où il y a noté théorème d'encadrement (des gendarmes, du sandwich ...^^) mais bon je verrais ça demain.

Okay. ^^

Pour la 5), il faut faire la somme de toutes les inégalités que tu viens de trouver pour k allant de 0 à (n-1). Écris bien les sommes si t'es pas sûr de toi mais normalement ça devrait se simplifier assez rapidement.
Pour la 6), il doit être possible d'utiliser le théorème d'encadrement mais vu l'inégalité (on des Un dans 2 membres), un raisonnement par l'absurde marche aussi très bien. Mais faut bien le rédiger donc aide-toi des définitions des limites qu'il y a dans ton cours.

J'me suis planté dans la numérotation...

(Uk+1)²-(Uk)² = (Uk +1/Uk)²-(Uk)² = (Uk)²+(1/Uk)²-(Uk)² = (1/Uk)² : c'est faux ça, faut utiliser une identité remarquable parce que les puissances c'est pas linéaire...
Ça change pas le résultat (on a de la chance) et ça simplifie même le calcul parce que les 2 se simplifient.

Mais J'AI UTILISE l'idendité...
J'étais un peu pressé et je voulais dormir.
(Uk+1)² = (Uk +1/Uk)² = (Uk)² + (1/Uk)² +2(Uk)(1/Uk) = (Uk)² + (1/Uk)²
Je ne vais pas expliciter ça aussi, quand même...

(Uk)² + (1/Uk)² +2(Uk)(1/Uk) = (Uk)² + (1/Uk)²

donc 2(Uk)(1/Uk)= 0 ?

Ah merde, (Uk)² + (1/Uk)² +1
J'aurais dû dormir au lieu de faire des maths...
Désolé, tout le monde. ^^

Ce n'est rien.
Je vais commencer à rédiger ça et essayer le reste avec les conseils de blackfire.

A bientôt certainement.^^

Ça fait (Uk)²+(1/Uk)²+2...

Bon :
0 <= (1/Uk)² <= 1 1 <= (1/Uk)²+1 <= 2 +1/Uk