Bonjour,
Voilà, comme le sujet l'indique, ,j'aurais besoin d'un coup de main pour mon DM.
J'ai une application linéaire f : F=K^3 -> K
(x,y,z)-> 2x-3y+5z
J'ai aussi H, sous espace vectoriel de F et noyau de f.
il faut que je montre que Im(f) = K
Je vois pas trop ce qu'il faut faire, car ça me parait évident que 2x-3y+5z appartienne à K quel que soit (x,y,z)appartenant à K^3...

PS : K^3 = corps de dimension 3....

up! svp!!

please!!

Im(f) = K signifie que ton application est surjective, autrement dit que pour tout élément a de K, il existe un triplet (x,y,z) de K^3 tel que f(x,y,z) = a.

Si K= R, C ou Q c'est simple.

Soit a un élément de K.
On veut montrer qu'il existe au moins un triplet (x,y,z) tel que f(x,y,z) = a.

On a:
f(a/2 , 0, 0) = a.

Donc a appartient à Im(f).
Donc K inclus Im(f).
Donc K = Im(f)

ah ok... C'est tout bète comme je le pensais, mais j'avais pas pensé de le rédigé comme ça (pourtant pas faute de l'avoir déjà fait!!!!)

Merci beaucoup de m'avoir ravivé la mémoire!!

D'ailleurs dans le cas général, tu as:

a élément de K.
f( -a, -a, 0) = a.

Don K = Im(f)

Pas de quoi

voilà, j'ai une autre question:
par la suite, il faut donner la dimension de H. J'ai dit 2 en utilisant le théo du rang.
Après il faut une base du noyau. Est-ce que celle ci convient:
(0;5/3;1) et (1;2/3;0)?

Oui.

ok, merci bien!! ça a l'air con comme question, mais il y a tellement de façon de faire en algèbre!!
Merci encore!

Et oui.... Je n'ai pas encore fini mon DM!! Et j'ai donc d'autres questions encore!!

Par la suite il faut que je complète une base de pour avoir une base de E :
X1 (1;0;-2;4) et X2 (-2;2;1;1) sont les 2 premiers vecteurs de cette base. Il m'en faut donc encore 2 autres pour obtenir la base de E. j'ai pris e1=(1;0;0;0) et e2=(0;1;0;0). Est-ce correcte?

Sachant que G est le sev de E engendré par X1 et X2, il me faut un supplémentaire G' de G.

J'ai donc dit que c'était l'espace engendré par les 2 autres vecteurs de ma base de E, cad vect(e1,e2).

Quelqu'un peut-il confirmer ou non?

Oui, vu que e1 et e2 appartiennent à E, et ne sont pas combinaisons linéaires de X1 et X2.

(Donc (X1,X2,e1,e2) est une famille libre, donc une base de E car dimE = 4).

d'accord, merci!
Et pour le supplémentaire, ça marche aussi? Parce que je trouve ça un peu bidon comme exo, du coup je suis pas sûr du tout de ce que je fais!!
merci encore en tt cas!

Oui.

D'accord!!! Réponses claires et net!!
Merci encore!
Je reviendrais surement pour la fin de mon DM, parce que ce forum est vraiment pratique pour ne pas faire n'importe quoi!

Me revoilà... Bien que j'aurais préféré pouvoir finir tout seul...

Je devais par la suite trouver un isomorphisme de G' dans H.
J'ai trouvé, à partir des vecteurs des bases :
G' -> H
(a,b,c,d)-> (b,5a/3+2b/3,a)

Et il faut ensuite trouver la matrice dans les bases canoniques de E et F, de cette application u qui va de E dans F :
pour x appartenant à G, u(x) = 0 de F
pour x appartenant à G', u(x)=v(x)

Je ne vois pas comment faire, étant donné que l'on a pas de relation pour v(x)...

Svp, un petit coup de pouce!!!

svp je galère!!