Bonjour tout le monde j'ai un exo sur la récurrence et je bloque à un endroit, c'est pour cela que je demande de l'aide.

J'ai une définie par un+1=1/2(Un+(2/Un)) avec U0=1/2.

On me demande d'étudier les variations de la fonction définie par f(x)=1/2(x+(2/x)).
J'ai fait ceci et je trouve que la fonction est décroissante en ]0;V2[ et croissante en ]V2;+00[.

Après on me demande de démontrer par récurrence que Un >= V2.
J'ai donc initialisé au rang n=0.
Après j'ai Supposé que Un >= V2 et j'ai proposé de montrer que Un+1 >= V2.

Ensuite je repars de Un >= V2
f(Un) >= f(V2)
Or f(Un)=Un+1
Donc Un+1 >= V2

La récurrence est établie. J'ai bien montré que Un >= V2.
Est-ce juste ?

Merci de votre aide et bon après-midi.

Oui ca à l'air juste, mais faudra que tu mettes des details... genre "l'etude de la fonction f montre que f est continue et croissante sur ]V2;+inf[

A quoi servirait ce détail ?
Le tableau de variation fait auparavant est suffisant non ?

Oui le tableau est suffisant mais il faut rappeler le resultat dans la demo car si on t as demande le tableau de variation c'est justement pour ca. Si la fonction avait été décroissante de V2;+inf alors f(Un) <= f(V2) et non >=

Faut pas oublier le fait que la fonction doit etre continue

Non c'est bon j'ai compris ou tu voulais en venir.
Excuse moi.

Sinon pour la question suivante je n'y arrive vraiment pas.
Voilà ce que ça donne: Montrer que pour tout x>=V2, f(x)=<x.

Pour celle-ci je ne sais pas comment procéder. Quelqu'un aurait une suggestion ?
Merci.

etudies f(x)-x et assures toi que la fonction soit negative pour x<=V2

Euh... je ne vois pas du tout ou tu veux en venir.

euh non pardons c est pour x>=V2

Je te rassure je ne comprends toujours pas^^

on te demande de montrer que pour x>=V2

f(x)<=x

soit

f(x)-x<=0

Je ne vois pas comment en faisant ta technique le résultat peut être démontré.

Oui je suis d'accord avec toi mais je ne vois pas comment prouver le résultat par la suite.

je peux difficilement te dire plus ...
on te demande de demontrer f(x)<=x pour x>=V2

f(x)<=x <=> f(x)-x<=0

fait déjà une étude de la fonction

Ben je suis désolé mais je ne vois pas ou tu veux en venir.
C'est surement tout con mais je ne vois pas.

j'ai pas regarder la fonction mais si tu demontre qu'elle est decroissante que que f(V2)-V2<0 alors c'est gagné

Si jamais la fonction est croissanten il faut montrer que f(V2)-V2<0 et que lim f(Vx)-x =0 quand x->+inf

Elle est décroissante sur ]0;V2[ et croissante sur ]V2;+oo[.

t es sur ?
1/2(x+(2/x))-x=1/2(-x+(2/x)) et ca a l'air decroissant ...

Sinon je ne comprends toujours pas ce qu'il y a à faire.
Je ne vois pas comment en montrant que f(V2)-V2 <= 0 j'obtiendrais le résultat demandé.

Moi je te parlais de la fonction en général pas de la différence f(x)-x