Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour un DM de maths, niveau 3ème.
Il s'agit d'une démonstration :

Si √2 est un nombre rationnel alors il s'écrit sous la forme d'une fraction irréductible a/b où a et b sont des entiers naturels non nuls.

1) Si la fraction a/b est irréductible, que peut-on dire des nombres a et b ?

J'ai mis car a n'est plus divisible par b.

2) a) Démontrer que si √2 = a/b, alors a²=2b²

J'ai répondu par un calcul :
√2=a/b
(√2)² = (a/b)²
2 = a²/b²
a² = 2b²

b) En déduire que a² est pair

Alors là j'ai du mal, j'arrive à peu près à l'expliquer de manière littérale, mais ne peut-on pas le faire par un calcul ?
Voilà toujours ce que je comptais mettre:
a est forcément pair car de l'autre côté de l'équation il y a 2*b² et multiplié par 2, le résultat sera multiple de 2 donc pair.

3) a) Démontrer que si a est pair, alors a² est pair

Je ne toujours pas vraiment comment l'expliquer...
Mais il faudrait que je recherche des cours de début d'année, on devait démontrer un truc similaire à ça, en disant par exemple que x*x - 1 est impair à cause du -1.

b) Démontrer que si a est impair, alors a² est impair

Idem qu'au dessus

c) En déduire que a est un nombre pair

4) On pose a = 2n
a) Démontrer alors que b² = 2n²

??

b) En déduire que b est pair

5) a) Expliquer pourquoi les réponses des questions 3) et 4) sont contradictoires avec la réponse faite à la question 1)

b) En déduire que √2 est un nombre irrationnel

Voilà donc l'exercice 3.
Je suis un peu perdu j'aurais donc apprécié une directive de démonstration de votre part !

Merci d'avance,
Bon début de soirée!

Mince...
L'inscription √ est en faite normalement le signe de la racine carrée !

Merci de ta réponse,

Donc déjà pour le 1) c'est juste de dire qu'ils ne sont plus divisibles entre eux ?

Pour le 2) b) par contre b pourrait être un nombre décimal non ? Comment répondre à la question de manière stricte alors ?

Pour la 3) a), je vais donc mettre soit a un nombre pair = à 2k avec k entier naturel, a² = 4k² = 2(2k²) ce qui implique donc que a est pair suivant l'égalité par le facteur de 2 sur k. Est-ce juste ?

Pour la 3) b), je fais pareil mais avec 2k +1.

Pour la 3) c), donc je dirais que a² est pair, a l'est aussi sinon il y aurait contradiction avec la question 3) a).
Sachant qu'un carré d'un entier impair est impair, a² pair implique de la même manière a pair, donc a est pair.

Pour la 4) a), j'ai rien compris, quel rapport entre a et b, faut-il faire des hypothèses et définir des valeurs ?

4) b), comme les questions 3) je pense, en changeant les valeurs

5) a), pas compris non plus xD
b) par quelle déduction ?

Voilà merci d'avance !!

Pour le 1, sans doute que c'est impossible que les 2 soient pairs, je ne vois pas, mais a et b sont des entiers, ce qui répond à ta question 2b.
Le 3a a l'air juste, le b, c'est ça, on ajoute 1 après 2k

4a) a² = 2b² et a = 2n => b² = ?
4b) comme 2b)

5a) si a est pair (3c)) et b aussi (4b)), a/b n'est pas irréductible et donc divisible par 2 au moins.

J'hésite pour la dernière.

OK merci pour ton complément d'aide !!
On y arrive bientôt, reste plus que le 5) b)

Par contre, j'ai une autre petite question pour un autre exo:
On dit de montrer que 2V3-3 est la racine carrée de 21-12V3
Alors l'égalité c'est V(2V3-3) = 21-12V3 ou V(21-12V3) = 2V3-3

Merci xD

V(21-12V3) = 2V3-3
Mais ce serait mieux de faire le carré de 2V3-3

Ok merci je voulais savoir pour l'égalité, pour la démonstration j'ai effectivement mis 2V3-3 au carré

Bonsoir,
Voici une belle démonstration par l'absurde.

Alors, à la question 1), dire a/b est une fraction irréductible revient à dire que a et b sont premiers entre eux. Donc qu'il n'existe aucun diviseur commun à a et à b.

Or dans les questions 3) et 4), tu as prouvé que si racine(2)=a/b alors a est pair et que b est pair également. Cela signifie que a et b sont tous deux divisibles par 2. Donc que la fraction a/b n'est PAS irréductible...

Seulement, par hypothèse, on te dit que racine(2) est un nombre rationnel si et seulement si il peut s'écrire sous la forme a/b tel que a/b soit irreductible.

Ce qui n'est pas le cas.
Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationel.
racine(2) n'est pas rationnel, donc racine(2) est irrationnel.

Bonjour,
Merci de ton aide, ça m'éclaircis ça encore un peu ^^
Mais je bloque à la question 2)b) car je n'arrive pas à le dire d'une manière précise

a et b sont 2 entiers.
b² est forcément un entier.
2b² est lui obligatoirement pair.:ok

Pourquoi b² est obligatoirement un entier ?
Désolé je suis fatigué xD

Le carré d'un nombre entier est un entier.
Quant à a et b qui sont le numérateur et le dénominatuer de la fraction, ils le sont obligatoirement aussi.

Ah ok j'ai compris je vais donc mettre:

On sait que a et b sont des entiers naturels.
Le carré d'un entier étant un entier, a² est aussi un entier, ainsi que b².
L'égalité prouvant que a² = 2b², un nombre impair multiplié par 2 donne toujours un nombre pair.
On en conclus donc que a² est un nombre pair.

Est-ce juste ?

Oui.

Euh par contre les questions 2)b) et 3)a) sont presque les mêmes sauf que dans la première il faut déduire et dans l'autre démontrer =S
Est-ce que mes réponses collent quand même ?
Merci !!

Tu l'as mis dans ton gros message : si b = 2k, b² = 4k² = 2(2k²) = 2K
k entier donc K toujours entier et pair, b est de la forme 2K, donc b pair.

Nan mais la question 2)b) est En déduire que a² est pair
et la 3)a) Démontrer que si a est pair, alors a² est pair.

Je voulais donc savoir si la déduction était bonne avec ce que j'ai mis dans mon message précédent précédent, et la démonstration avec le K. Ce qui me met le doute c'est que dans la démonstration avec K on ne parle pas de a, or il faut dire que si a est pair, alors a² l'est aussi.

Vois-tu?

Je me suis trompé de lettre.
Il fallait mettre a à la place de b.
Il commence à m'embrouiller cet exercice.

Moi aussi
Donc c'est bon pour la déduction et la démonstration ou je dois inverser??