Bonsoir !

J'en arrive aux dernières questions de mon dm de maths, et évidemment, je bloque.

On considère la série de terme général

u_n = (n!) / ((1+a)(2+a)...(n+a)) avec a > 0 et n => 0.

En posant S_n = somme pour k variant de 1 à n de u_k, j'ai établi que :

S_(n-1) = (1/(a-1)) - (((n+a)u_n)/(a-1)).

Et j'ai ainsi montré que (S_n) est croissante. On me demande alors de montrer que la série de terme général u_n converge, puis d'en déduire que la suite ((n+a)u_n) converge, en notant ensuite l sa limite, avec une démonstration par l'absurde pour montrer que l=0. Je sèche horriblement. Qui aurait une piste pour moi ? Merci. ^^

u_n = u indice n.

Mon dieu mon cerveau fond je suis incapable de faire ça

J'écrirai ceci sur ma copie : "angelaxe n'a pas pu le faire, veuillez l'en excuser".

majore u_n par (2n)!/(n!)² ce qui vaut n parmi 2n ...

eu....

peut étre faut-il utiliser la formule du binôme à ce moment là....

Le pire c'est que je crois que jlai fait l'an dernier en colle ce truc...

Tu aura bien sur préalablement montré que u_n est croissante

Le but étant de faire croissante+majoré = ownage de l'exo

Ou alors...tu majore u_n par (n+a)^n/n!

puis tu utilise le binome ....et tu verra que ça converge vers 0....

Le mieux aprés est de trouver que u_n est équivalent à 1/n^(+ de 1) au voisinage de l'infini....

U_n peut se réécrire n!/(n! + P(a)) avec P(a) de degré n. Donc P(a)~a^n. Vn = a^n/n! converge vers 0 d'après une démo de récurrence qui se trouve quelque part dans un de mes topics. Donc Un tend vers 1, donc série divergente. TINDIN problemo.

Je la refais.

Un peut se réécrire n!/(n! + P(a)) avec P(a) de degré n. Donc P(a)~a^n. Un peut se réécrire comme 1/(1+(a^n/n!)). Vn = a^n/n! converge vers 0 d'après une démo de récurrence qui se trouve quelque part dans un de mes topics. Donc Un tend vers 1, donc série divergente. TINDIN problemo.

Mais bon ça doit venir de l'approximation grossière du polynome. Après cette série il me semble l'avoir déjà eu, mais j'ai pas la correction dans la poche.

Je viens de me rendre compte que j'ai inversé u_n

AH OK LE MEC QUOI

"P(a)~a^n"

c'est pas un peu pipo ça ???? si a<1...?

Sinon au lieu d'approximer débilement, oui prendre le binôme de Newton.

ah oué nn en fait j'ai rien dit ça marche quand mm pour la suite ...

"u_n = (n!) / ((1+a)(2+a)...(n+a)) avec a > 0 et n => 0. "

Oups j'ai cru voir -1. Rien dit. Oui enfin bref snul.

u_n decroissante (facile) , minoré (par 0)

Donc converge

je sens qu'il va falloir utiliser (1+ x/n)^n --> e^x quand n tend vers l'infini....

Bon je laisse tomber .....good night everybody

1) Si je dis que (n+a)^n ~ n^n donc Un ~ n!/n^n :

n! / n^n = (1 x 2 x ... x n)/ n^n

Il y a (n-1) termes =< n

Donc

(1 x 2 x ... x n)/ n^n =< (1 x n x n x ... x n)/ n^n

(n-1) fois pour le numérateur donc :

= n^(n-1)/ n^n

Qui est équivalent à 1/n -> 0

Un tend donc vers 0, on ne peut pas conclure.

2) (Un+1)/Un tend vers 1 (règle de d'Alembert), on ne peut pas conclure. Bien que j'aurai tendance à dire que légèrement inférieur à 1 en fraudant les règles. Et là j'owne tout le bordel mais j'ai pas droit.

3) La flemme de faire Cauchy. Mais en gros c'est "peut pas conclure" comme de par hasard. C'est à dire que (Un)^1/n est inmajorable par une constante.

Résumé : On ne peut pas conclure de partout. C'est très intéressant.

Quand d'Alembert et Cauchy ne marchent pas .......appelle Raabe-Duhamel