Merci beaucoup. C'est dans l'esrpit de ce que je fais.

Mon prof de maths était pareil, je n'ai quasiment pas d'exos d'applications.(3 pour une quinzaine je dirai) Enfin, à mon sens.

Je vais sans doute être plus ambitieux que toi, parce que je n'aime pas trop les fiches. De fait, je pense que j'apprendrai brut le cours.(de toute façon, quand je raccourcis les choses, je ne maîtrise plus rien...)

Est-ce que les profs distribuent des polys ? Ou alors on écrit le cours à la main ?

Merci en tout cas, c'est vraiment sympa. ^^

Profites-bien de tes vacances. Y parait que l'X c'est pas de tout repos. ^^

Pour les polys :

En maths, il y en aura pour les chapitres de révisions et pour les démos un peu longues et techniques. Le reste se fera au tableau.

En physique, il y aura plein de polys, surtout en chimie, mais aussi pour les figures, les parenthèses historiques, ou pour quand on est vraiment à la bourre par rapport au planning. Cela dit, une bonne part du cours se fera aussi au tableau.

En SI, que des polys, mais ça te concerne pas.

En info, je sais pas.

Tx !

"déterminer tous les automorphismes du groupe des permutations de {1,2,3}."

Soit Phi un automorphisme du groupe des permutations de {1,2,3}.

Card(S_3)=6

Soit t une transposition. On a que 4 transpos.(id est une transpo ?)
t=t^-1

Donc, Phi(t^2)=(Phi(t))^2=Id, donc Phi(t) est aussi une transposition.

De là, et bien comme les transpositions engendrent S_3, on en déduit par transposition des transpositions(? qu'on a... 6 automorphismes possibles, qui seraient isomorphes à des éléments de S_3 sur la restriction aux 3 transpositions.(je suis très clair, oui je sais)

Je sais po si c'est bon. Mais au tableau, tu m'étonnes que tu aies eu du mal.^^

T'arrives assez près du résultat. En fait, voilà la solution que m'a quasiment dictée le prof :

Si t est une transposition, Phi(t) aussi, tu l'as montré.

Mais attention : S_3 est engendré par les transpositions, c'est vrai, mais aussi par les deux transpositions (1,2) et (1,3).

(De manière générale, on montre que S_n est engendré par :
- (1,2),(1,3),...,(1,n)
- (1,2),(2,3),...(n-1,n)
- (1,2) et (1,2,...,n))

Donc on va uniquement s'intéresser aux images par Phi de (1,2) et (2,3), qu'on note (a,b) et (c,d).

Comme Phi est un automorphisme (donc de noyau réduit à l'élément neutre), on a a différent de b et c différent de d. Comme {1,2,3} ne comporte que 3 éléments, on a a=c ou a=d ou b=c ou b=d. Par symétrie des rôles de ces différents éléments, on prend a=c.

Donc Phi((1,2))=(a,b) et Phi((1,3)=(a,d). Par injectivité de Phi, b est alors différent de d.

Soit alors f la permutation de {1,2,3} telle que f(1)=a, f(2)=b et f(3)=d. Alors (a,b)=fo(1,2)o(f^-1) et (a,d)=fo(1,3)o(f^-1). (Ce sera du cours, mais tu peux le vérifier facilement.)

Donc Phi coïncide avec s->foso(f^-1) sur une partie génératrice de S_3 donc ces deux applications sont égales : Phi est un automorphisme intérieur de S_3.

Synthèse : Les automorphismes intérieurs de S_3 sont évidemment des automorphismes de S_3.

En prime, on peut vérifier qu'il en existe bien 6, en montrant que l'application qui à f associe l'automorphisme s->foso(f^-1) est un morphisme injectif de S_3 dans le groupe des automorphismes de S_3 :

Le fait que ce soit un morphisme ne pose pas de problème. Pour l'injectivité : Supposons que l'image de f par cette application soit l'indentité. Alors pour tout s élément de S_3, foso(f^-1) = s donc fos = sof. f commute avec tout élément de S_3 donc f=Id.

(Ce dernier résultat, on l'a démontré en début d'année pour S_4, de façon laborieuse en discutant selon les orbites des permutations, etc... J'ai trouvé par la suite une démonstration très courte dans le cas général, c'est-à-dire qui montre que si n est différent de 2, l'identité est la seule permutation qui commute avec tous les éléments de S_n. Je te laisse chercher, c'est pas bien dur.)

Joli, joli.

Je suis par contre déçu : le Gourdon ne recensait aucune des propositions...

'vais regarder ça de plus près.

Ca a l'air diabolique la MP* !!