Donc : la question 2 :
u est continue sur I donc majorée par M >= 0 sur I, je pose u=M*A.

Initialisation :
Si x est dans I, on a bien u(x)<=int(0->x)(u(t)dt) <= int(0->x)(M*dt) <= int(0->A)(M*dt) = M*A = alpha.

Hérédité :
Soit n dans N, supposons que quel que soit x dans I on ait:
u(x) <= alpha*|x|^(2n+1)/2^n*n!.
On a alors:

1er cas : x >= 0
u(x) <= int(0->x)(u(t)dt) <= int(0->x)(alpha*|x|^(2n+1)/2^n*n!)
<= (alpha/2^n*n!) * int(0->x)(x^2n+1) <--- (car x >= 0)
= (alpha/2^n*n!) * [x^(2n+2)/(2n+2)](entre 0 et 1)
= (alpha/2^n*n!) * x^(2n+2)/2*(n+1)
= (alpha/2^(n+1)*(n+1)!)*|x|^(2n+2) <--- (car x >= 0)
Voila pour le premier cas.

2eme cas : x < 0
u(x) <= int(0->x)(u(t)dt) <= int(0->x)(alpha*|x|^(2n+1)/2^n*n!)
<= - (alpha/2^n*n!) * int(0->x)(x^2n+1) <--- (car x < 0)
= - (alpha/2^n*n!) * [x^(2n+2)/(2n+2)](entre 0 et 1)
= - (alpha/2^n*n!) * x^(2n+2)/2*(n+1)
= + (alpha/2^(n+1)*(n+1)!)*|x|^(2n+2) <--- (car x < 0)

Le résultat est donc prouvé au rang n+1.