Ouai mais je vois mal expliqué les espaces vectorielles a mon pc

celadit l'histoire des barycentres est pas bête faut que je me penche dessus, je crois c'est faisable

Une autre manière, non barycentrique, de voir les choses, est de se dire qu'un triangle n'est jamais que l'intersection de 3 demi-plans dans un plan, et qu'être dans un triangle signifie donc être du bon côté de chacun des 3 bons demi plans.
Très calculatoire, cependant.

je persiste : 2 points constituent un diamètre passant par O(0,0) et le troisième point se balade sur le cercle ...

Oui mais nan, c'est pas général ça...
Le point O n'est pas forcement SUR le triangle

Et plus encore, si on dit que le point o est sur le diamètre, alors, on peut placer le troisième point où on veut, et pas obligatoirement sur le cercle...

Condition suffisante absolument pas nécessaire.

Bon j'ai finalement opté pour la dernière solution(celle que personne n'a proposé^^)

Une solution géométrique:

Si un triangle contient l'origine alors nécessairement il coupe l'axe des ordonnées en 2 points, l'un positif et l'autre négatif

Faux.

1 - Les conditions ne se font pas sur les coordonnées CARTHESIENNES

2 - On peux tracer un triangle dont un des sommet est O, et contenu entre les deux axes. Ainsi il contiendra O mais il ne coupera qu'une fois l'axe des abscisse (ou des ordonnées d'ailleurs)

Si toute droite passant par O coupe le triangle en au moins un point ?

Il existe une infinité de droite passant par O donc quelques soit le triangle que tu choisis une droite passant par O le coupera obligatoirement

On prend une demi-droite d'origine O. On regarde le nombre d'intersection avec le triangle. Si c'est impair, il est dedans, sinon, il y est pas (ça marche avec tous les polygones).

Ca marche pas avec toute les demi-droites...

Si je prends la demi droite OA, elle coupe le triangle en un nombre impair et c'est pas forcement dedans...

est-ce qu'on peut dire : si il existe une demie-droite issue de l'origine et coupant le triangle en un point n'étant pas un sommet?

sinon : peut-on m'expliquer le lien logique entre "Si toute droite passant par O coupe le triangle en au moins un point ?" et "Il existe une infinité de droite passant par O donc quelques soit le triangle que tu choisis une droite passant par O le coupera obligatoirement" ?

"abandonnez, et rangez vous du côté des barycentres, qui ne demandent que la résolution d'un système des trois équations à trois inconnues."

je vois les 3 inconnues (les 3 poids positifs), je vois 2 équations (la somme des (poids_i*abscisse_i) qui vaut 0 et pareil avec les ordonnées), mais il m'en manque une... Quelqu'un pour éclairer ma lanterne...

PS : si c'est poids_A+poids_B+poids_C=qqch positif, ça sert à rien, ça ramène à un système de 2 équations à 2 inconnues (en divisant par le truc qui va bien, le qqch positif vaut 1). Mais ce système est non linéaire donc la recherche des critères donnant une solution est plus galère que la recherche des points n'annulant pas un déterminant de matrice (2,2)...