c'est évident que ca marche aussi, il faut voir si tu préfères résoudre un système à 3 équations, ou développer un déterminant.

Vu que le déterminant est facile à calculer, pourquoi s'en priver^^

Picto , tu avais ecris:
"Si ca suffit, et ca se justifie très facilement:
Si elle était diagonalisable, il y aurait P inversible /
A=P^-1 * D * P où D est diagonale avec les valeurs propres, c'est à dire D=0, donc A=0, ce qui est plutôt faux."

et je voulais juste savoir si la matrice D etait egale a:
0 0 0
D=0 0 0
0 0 0

sd460 > Je suis en 1ere année math-info.
Hmm , si j'ai bien compris, ton théoreme permet de montrer que A est diagonalisable sur C mais permet-il de monter que A n'est pas diagonalisable sur R?

Je sais que A est diagonalisable sur C car j'ai trouvé 3 valeurs propres sur C mais pour R je n'ai pas trop compris ^^

Alors dans l'ordre :
sd -> si on les compte avec leur ordre de multiplicité oui, mais de la facon dont il l'a dit on pourrait comprendre (en tout cas c'est ce que j'ai compris) que toute matrice a n valeurs propres complexes distinctes, ce qui voudrait dire que toute matrice est diagonalisable dans C

Kaim -> Il y a tellement de façons d'envisager ce genre de problèmes, mais comme il était parti comme ça et qu'il avait déja calculé le polynôme caractéristique j'ai trouvé préférable de continuer dans cette voie

HellKnight -> D=0 ca veut exactement dire que D=matrice 3*3 avec que des 0 dedans

Mais je vais détailler le raisonnement : une matrice A est diagonalisable sur R si et seulement si il existe une matrice P (inversible) et une matrice diagonale D à coefficients dans R telles que A=P^-1 * D * P, et alors les coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres (réelles) de A.

Or ici la seule valeur propre réelle de A est 0. Tu peux faire un raisonnement par l'absurde:
Si elle est diago, il existe P et D telles que (...), et comme les coefficients de D sont les valeurs propres REELLES, alors D n'a que des 0 sur la diagonale, donc que des 0 tout court.
On aurait alors A = P^-1 * D * P = P^-1 * 0 * P = 0 et c'est contradictoire.

picto > on est d'accord alors, ca me paraissait évident qu'il fallait les compter avec leur ordre de multiplicité, mais c'est vrai que si on précise pas, ca peut porter à confusion.

HellKnight75 > en fait vu que tu as une équivalence tu peux obtenir le résultat voulu, mais si tu n'as pas encore vu le théorème laisse le de coté pour l'instant.

1. sd460
2. Posté le 10 février 2008 à 00:15:56
3. c'est évident que ca marche aussi, il faut voir si tu préfères résoudre un système à 3 équations, ou développer un déterminant.

Vu que le déterminant est facile à calculer, pourquoi s'en priver^^

En fait, dans le cas présent, on trouver un polynôme caractéristique qui n'est pas scindé sur R, ce qui suffit à conclure que la matrice n'est pas diagonalisable, ce qui était plus rapide.

Mais ce qu'il faut comprendre, c'est que le calcul du polynôme carctéristique ne donne que les valeurs propres de la matrice et une majoration de la dimension des sous-espaces propres associés. Pour diagonaliser explicitement la matrice, ou même simplement pour chercher à savoir si elle est diagonalisable, il faudra de toute façon résoudre le système AX=kX, avec k une valeur propre.
Avoir calculé le polynôme caractéristique permet de savoir quelle valeur donner à k mais il faut quand même résoudre le système.
Donc si l'écriture du système permet de trouver les valeurs possibles pour k sans passer par le polynôme caractéristique, on s'épargne un calcul.

Exemple : soit la matrice de taille n contenant des 1 sur sa dernière ligne et sa dernière colonne, sauf dans la case en bas à droite, qui contient un 0 ; et des 0 partout ailleurs. On sait que cette matrice est diagonalisable car symétrique réelle. Mais si vous voulez calculer le polyôme caractéristique, bon courage. Alors que résoudre AX=kX fonctionnera très bien.

KaiM > Je suis tout a fait d'accord avec ce que tu dis, il faut savoir s'adapter à l'exercice. Dans les exercices d'application comme celui-ci ou on demande si la matrice est diagonalisable, je ne réfléchis meme plus et je calcule directement le polynome caractéristique car j'ai une démonstration propre et rapide.