Bonjour, j'ai un problème avec un exercice:
-1 1 0
soit A= 0 -1 1
1 0 -1
A est-elle diagonalisable sur R?

J'ai tout d'abord calculé le polynome caracteristique en le rendant irreductible et je trouve:

f(x)=-X(X²+3X+3)
J'en ai deduit que 0 etait valeur propre triple ( cad que l'ordre de multiplicite de 0 est 3) mais est ce suffisant pour montrer que
A n'est pas diagonalisable?

Désolé pour la marice ^^
-1 1 0
A= 0 -1 1
1 0 -1

Si ca suffit, et ca se justifie très facilement:
Si elle était diagonalisable, il y aurait P inversible /
A=P^-1 * D * P où D est diagonale avec les valeurs propres, c'est à dire D=0, donc A=0, ce qui est plutôt faux.

ok merci ^^
Et sur C , les valeurs propres sont 0 , (-3/2)+2i , (-3/2)-2i ?
Et est ce qu'on peut en deduire que A est diagonalisable sur C en affirmant que 0 , (-3/2)+2i , (-3/2)-2i sont des valeurs propres simples et distinctes?

Si elles sont distinctes elles sont forcément simples, et si il y a autant de valeurs propres que la dimension de l'espace, alors c'est diagonalisable, donc oui!

0 n'est pas valeur propre d'ordre 3 si on se réfère à ton polynome caractéristique...

Sinon :
Th du polynome annulateur : "A est diagonalisable ssi il existe un polynome annulateur de A scindé sur le corps IK (ici IC) à racines simples.

Je ne vois pas pourquoi 0 n'est pas valeur propre.

f(0)= -0*(0²+3*0+3)
=0*3
=0

Donc 0 est valeur propre non?

Pour arriver au f(x), j'ai d'abord utilisé la regle de Sarrus pour calculer le polynome caractéristique ce qui donne:
P(x)= (-1-X)^3 + 1

Et ici aussi X=0 est solution de P(X)=0

Si -X(X²+3X+3) est bien le polynome caractéristique alors 0 est une valeur propre oui, mais pas d'ordre 3 puisque l'ordre correspondrait à son ordre de multiplicité dans le polynome, et c'est 1.

Dans |R , 0 est valeur propre d'ordre 3
Dans |C , 0 est valeur propre d'ordre 1
C'est bien ca?
Parce que si 0 est valeur propre d'ordre 1 dans |R, cela veut dire qu'il existe d'autre valeurs propre dans |R mais je n'arrive pas a les trouver.

dans R, 0 est valeur propre d'ordre 1 !!!! Sinon, comme ta matrice est de taille trois, ça voudrait dire qu'elle est nulle...

Il y a 1 valeur propre réelle et 2 complexes : ça veut juste dire que A est trigonalisable sur R et diagonalisable Sur C. Une matrice d'ordre n a toujours n vp complexes mais pas forcément n vp réelles : c'est donc aux propriétés des polynômes à coefficients réels...

"Une matrice d'ordre n a toujours n vp complexes mais pas forcément n vp réelles"
C'est peut-etre pas ce que tu voulais dire, mais en tout cas c'est faux.

"Parce que si 0 est valeur propre d'ordre 1 dans |R, cela veut dire qu'il existe d'autre valeurs propre dans |R mais je n'arrive pas a les trouver."
Ben faut croire que non!

Donc 0 est la seule valeur propre dans R?
Et je peux donc en deduire que A n'est pas diagonalisable sans justification?

Donc 0 est la seule valeur propre dans R?
Et je peux donc en deduire que A n'est pas diagonalisable dans R sans justification?

Non tu ne peux pas le déduire sans justification, mais la justification figure dans mon premier post !

ok donc
0 0 0
D=0 0 0 ?
0 0 0

Il veut rien dire ton dernier message, c'est quoi D, ça existe ?

indique ton niveau d'étude stp.
Je t'ai donné un théorème, si tu veux je te le redémontre c'est pas compliqué, mais je pense que tu l'a vu, c'est un théorème de base concernant la diagonalisation.

picto >

"Une matrice d'ordre n a toujours n vp complexes mais pas forcément n vp réelles"
C'est peut-etre pas ce que tu voulais dire, mais en tout cas c'est faux.

Je ne vois pas en quoi c'est faux.... Je dirais que c'est juste (IC est algébriquement clos, donc on a forcément n racines pour le polynome caractéristique, a condition bien sur de les compter avec leur ordre de multiplicité)

A la lecture du premier post, et d'un point que personne n'a relevé, je me permets une remarque :

Il n'y a pas que le polynôme caractéristique dans la vie ! Ici, une simple recherche de couple propre (ie résoudre le système AX=kX, k réel) nous donne un système fort sympathique qui montre que la seule valeur propre réelle est 0 est que le sous-espace associé est de dimension 1, ce qui suffit à conclure que A n'est pas diagonalisable (car les sous-espaces propres ne sont pas supplémentaires.)