Bonsoir à tous

J´ai un DM à rendre pour lundi (oui je m´y prends tard); je voudrais vérifier 2 résultats que j´ai trouvé et dont je ne suis absolument pas sûr.

A tout nombre complexe z différent de -2, on associe le nombre complexe z´ défini par : z´ = (z - 4i)/(z+2).

2 - L´ensemble des points M d´affixe z tels que |z´| = 1 est :
a - un cercle de rayon 1, b - une droite; c - une droite privée d´un point; d - un cercle privé d´un point

Pour celui là je suis parti de |z´| = 1 si et seulement si |z - 4i| = |z+2|; j´ai remplacé z par a + ib et à force de simplifier les expressions, je suis arrivé à l´équation : a + 2b - 3 = 0
Cette équation ayant une infinité de solutions, la solution est donc une droite privée d´un point (car z´ n´est associé à z que si z est différent de -2)

3 - L´ensemble des points M d´affixe z tels que z´ est un réel est :
a - un cercle; b - une droite; c - une droite privée d´un point; d - un cercle privé d´un point

Cette fois, j´ai multiplié et le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur. J´en suis arrivé à l´expression : (a² + 2a + b² -4b + 2i(b-2a-4))/(a² + 4a + b² + 4)

Donc z´ est un réel si et seulement si 2i(b - 2a - 4) = 0
2i n´étant pas nul, z´ est un réel si et seulement si b - 2a - 4 = 0.

Là encore, pour moi ca serait encore une droite privée d´un point (à cause de l´association limitée de z´ à z).

Mais j´ai de gros doutes sur les raisonnements que j´ai tenu durant l´exercice, donc si quelqu´un pouvait infirmer (et m´expliquer) ou confirmer, je lui en serais reconnaissant

Le début du raisonnement est bon, la fin est mauvaise :

"Cette équation ayant une infinité de solutions, la solution est donc une droite privée d´un point (car z´ n´est associé à z que si z est différent de -2)"

Les points M(a, b) de la droite vérifient a + 2b - 3 = 0.
Tu sais que z = 2 est une valeur interdite, mais est elle sur la droite que tu as trouvé? On remplace a et b apr la valeur interdite de z et on voit bien le problème :
2 + 2*0 - 3 = -1 != 0.
La solution est donc une droite.

Je te laisse vérifier pour le deuxieme.

Ca m´a l´air juste (j´ai pas vérifié tes calculs), mais tu t´es un peu fais chié en remplacant z par a+ib.

Pour le 2), t´as |z-4i|=|z+2|
Or si tu dis que A est d´affixe 4i, B d´affixe -2 et M d´affixe z, ton identité devient : AM=BM ce qui traduit que ton ensemble de points est une droite et plus précisément la médiatrice de AB.

Je pense qu´on doit pouvoir faire la meme chose avec le 3) en disant que z´ est réél ssi il est d´argument kPi (k dans Z).
Je te laisse voir si ca mene à quelque chose

Bogoss, je pige pas pourquoi c´est uen droite! Pourtant c´est z différent de -2!

Je pense que c´est juste, mais j´ai trouvé autrement (plus facile en plus)! Corrigez moi si c´est faux!

Pour la 2.a, il suffisait de faire:
|z´|= |z-4i|/|z+2|
or, on cherche les z pour |z´|=1
donc
|z+2|=|z-4i|

en posant M(z), B(-2) et A(4i) on obtient par exemple:
BM=AM
Donc z c´est l´affixe de tous les points M appartenant a la médiatrice de [AB]! Or, z =/= -2 donc il s´agit bien d´une droite privée d´un point!

3.a

Ben z´ E IR <=> arg (z´) = 0 [Pi]
Donc arg((z - 4i)/(z+2)) = 0 [Pi]
<=> arg((4i-z)/(-2-z) = 0 [Pi]

en posant M(z), B(-2) et A(4i) on obtient

Angle orienté (MB,MA) = 0 [Pi] <=> les trois points sont alignés! Donc c´est une droite..privée d´un point encore qui est z= -2!

Si la droite d est la droite contenant les points solutions, t´as un truc du genre (rigolez pas ) :

http://img516.imageshack.us/img516/3610/sanstitrerq1.jpg

Alors que si la droite passerai par z = -2, elle serai privée d´un point.

Oui mais elle peut aussi passer par ce point! Et dans ce cas là, on aura comme solution une réunion de deux demis droites!

M´enfin, pour répondre droite comme ça, je pense qu´il faut vérifier! Donc vaut mieux choisir droite privée d´un point d´affixe z=-2!

Sinon, mon raisonnement est juste?

Ah, tiens le detective j´avais pas vu ton post Tu m´a devancé pour les arguments raclure

Elle peut passer par le point, et y passe dans la question 3 justement, et la la réponse est bien un droite privée d´un point.

Mais dans la question 2, elle n´y passe pas, et c´est une droite complète.

Ok!

Comment tu vérifie en fait? Comment vérifier si ça passe ou pas?

Merci à tous pour votre aide, en effet je vois que je me suis bien compliqué la vie (en général c´est toujours le chemin le plus compliqué que je prends d´instinct ^^)

Ben tu dis que A,B,M sont alignés Donc c´est bien une droite. La droite (AB), mais z est différent de -2 et A est d´affixe -2.
Donc l´ensemble du 3), c´est la droite passant par A et B, privé de A.

C´est ce que tu attendais?

Dans les deux cas on utilise un A ou B d´affixe -2 ...

Et la médiatrice de AB ne passe pas par A

Ah ouias! Bien sur que la médiatrice ne passe pas par A! C´est uen médiatrice

Ok Ok, merci beaucoup!

Bonne nuit!

De rien.

Re-bonsoir

J´ai de nouveau un problème avec les complexes, je ne vois absolument pas comment résoudre ces problèmes.

1 - On considère l´application f de P\{O} dans P\{O} qui au point M d´affixe z associe le point M´ d´affixe z´.

z´ = 1/z

a - Démontrer que pour z différent de 0, on a arg(z´) = arg(z) +2kPi
En déduire que pour toi point M de P\{O}, les points M et M´ = f(M) appartiennent à une même demi-droite d´origine O.

b - Déterminer l´ensemble des points M de P\{O} tel que f(M) = M

Pour celui là, je pense qu´il faut dire que f(M) = M si et seulement si z´ = 1/z = z, donc z = 1/z donc z² = 1, donc z = 1 ou z = -1.

c - M est un point du plan P distinct de O, U(1), V(i). On admet que M´ est aussi distinct de O, U et V.
(conjZ = conjugué de z)
Etablir l´égalité :

(z´ - 1)/(z´ - i) = (1/i)((conjZ -1)/(conjZ + i)) = - i*Conj((z-1)/(z - i))

En déduire une relation entre arg((z´ - 1)/(z´ - i)) et arg((z-1)/(z-i)).

3 - a - Soit z un nombre complexe tel que z différent de 1 et z différent de i et soit M le point d´affixe z. Démontrer que M est sur la droite (UV) privée de U et V si et seulement si, (z-1)/(z-i) est un nombre réel non nul.

Là je suppose qu´il faut dire que (z-1)/(z-i) = VecMU/VecMV

Or si VecMU/VecMV est un réel non nul, alors arg (MU,MV) = 0 (Pi), donc les points M, U et V sont alignés. D´où M est sur la droite (UV) privée de U et de V.

b - Déterminer l´image par f de la droite (UV) privée de U et V

http://www.maths-express.net/bac-s/2006/FranceSseptCor.pdf

C´est celui de france 2006 ...

Ne regardes pas la correction surtout .

Essayes de chercher .