Salut !

Voici un petit problème de mathématiques :

La fonction f vérifie f(0) = 1, f´(0) = 0 et f = f´´

Et g(x) = f(x)e^x

Et on doit prouver que pour f vérifiant les conditions ci dessus :

g´(x) = e^2x

Voila, c´est tout. ^^

Salut,
Si tu dérives une fois, puis deux fois g tu pourras obtenir une équation (différentielle) entre g´ et g´´, tu peux alors en déduire g´.

Ok, ca marche, merci.

Désolé mais je bloque encore :

Je dois prouver qu´il existe une seule fonction f respectant ces conditions, et trouver sa formule...

S´il vous plait.

Pour montrer qu´il en existe qu´une seule:
Tu prouves que si il y en a deux qui vérifient les mêmes propriétés, alors elles sont égales.
Tu montres qu´il en existe une en la trouvant (essaie des formes particulières, genre exponentielle)

Cela dit:
En calculant g´ tu as trouvé que g´ dépendait de f et de f´, tu peux donc trouver une équation différentielle que vérifient ces deux fonctions, ça pourrait t´aider!

J´ai g´ = exp(x)(f+f´)

Je sais juste que f+f´ = exp(x)...

Mais apres, je ne sais pas. =/

Non ?

Bon euh je poste aussi ici Neo parce qu´il a un peu coulé de l´autre coté

Tu as trouvé g´ = e(x)*(f´ + f) et f´ + f = e(x)
ensuite tu resouds l´equation homogene f´ + f = 0 qui te donne comme solution generale: f(x) = K(x)*e(-x)
ensuite tu as f´(x) = K´(x)*e(-x) - K(x)*e(-x)

tu remplace tout ca dans l´equation f´ + f = e(x) et ca te donne:
K´(x)*e(-x) - K(x)*e(-x) + K(x)*e(-x) = e(x) donc K´(x)e(-x) =e (x) et K´(x) = e(2x)
donc t´en déduis K(x) = (1/2)*e(2x) + C (C qui est une constante)

tu remplace dans l´equation: f(x) = K(x)*e(-x)
ca te donne f(x) = ((1/2)*e(2x) + C)*e(-x) = (1/2)*e(x) + C*e(-x)
apres comme f(0) = 1 tu trouve C = 1/2 donc f(x) = (1/2)*(e(x) + e(-x))
et tu vérifie que f´(0) = 0 (ce qui est le cas)
et que f´´(x) = f(x) (ce qui est aussi le cas)

voilou

Je suis en terminale, équations homogènes connais pas, désolé...

bah c´est une equation differentielle toute bete

Le monde est petit

L´equation homogene de f´ + f = "une autre fonction de x" c´est:
f´ + f = 0 c´est tout

Non mais j´ai pas le droit de l´utiliser, c´est pas dans mon programme. XD

bah dans ce cas tu dis pas ca comme ca tu dis juste "on resoud l´equation f´ + f = 0" et c´est tout enfin tu fais comme tu veux apres si ca te convient pas...

Oui enfin tu te prends un peu beaucoup la tête pour rien blackcortex...
f = (1/2)*e(x) est une solution particulière de l´équation.

"qui te donne comme solution generale: f(x) = K(x)*e(-x) "

Et ça, c´est faux. La solution générale est f(x) = A*e(-x).
Après, tu peux appliquer la méthode de variation de la constante, mais bon, ça se voit à vue d´oeil.

T´aurai pas le texte en entier Neo ? Parce que tu sors des nouvelles données à chaque fois ^^

Pour montrer qu´il existe une unique solution, il faut que résolve l´équation différentielle. Avec les conditions données, il n´y en aura qu´une.

Oui possible enfin j´ai fait le cas général quoi le principal c´est qu´on trouve le bon truc a la fin non?
Bref comme j´ai dit si ca te convient pas Neo essaie autre chose, moi j´ai essayé de t´aider, apparement t´as pas l´air d´apprécier mais bon...

Bon, si vous y tenez, l´énoncé en entier !

Soit E1 l´ensemble des solutions de l´équation différentielle y = y´
Soit E2 ... y = y´´

Le but de l´exercice est de démontrer qu´il existe une unique fonction f appartenant a E2 et vérifiant f(0) = 1 et f´(0) = 0

1) Vérifier que les fonction e^x et e^-x appartiennent a E2

2) Soit f 2 fois dérivable, on pose u = f+f´
Démontrer que u appartient a E1 si et seulement si f appartient a E2

Démontrer que u vérifiant u(0) = 1 est unique

3) Soit f appartenant a E2, on pose pour tout x

g(x) = f(x)e^x

Démontrer que si f vérifie f(0) = 1 et f´(0) = 0, alors
g´(x) = e^2x

J´en suis la :

Démontrer qu´il existe une seule fonction f répondant au problème posé et déterminer son expression