Salut !
J´ai un exo à faire que j´ai beaucoups de difficulté à le résoudre, si quelqu´un peut m´aider ^^
Merci d´avance !! !

f est la fonction définie sur [0;+infini[ par :
f(x) = (x²/2)*(Ln x - 3/2) si x>0
f(0) = 0

1)a) Quelle est la limite de (f(x)-f(0))/x quand x tend vers 0?
Déduisez en que f est dérivable en x=0

b) Etudiez les variations de f et dressez son tableau de variations

2) On note C la courbe représentative de f dans un repere orthonormal (O;i;j)
a) Trouvez une équation de la tangente T à C au point d´abcisse 1

b) On se propose dans cette question d´étudier les position relatives de C et T. Pour cela, on note h la fonction définie sur ]o;+infini[ par :
h(x) = f(x) + x - 1/4
Etudiez le signe de h´´(x), déduisez en celui de h´(x), puis celui de h(x) sur ]0;+infini[

3) Construisez T, les tangentes aux poins d´intercection de C et de l´axe des abcisses, puis C.

Voila mes recherches pour l´instant :
1)a) f(x)=(xlnx)/2 - (3x)/4
lim x>0 (xlnx)/2 = 0
lim x>0 -(3x)/4 = +infini
donc lim x>0 f(x) = 0
et donc f est dérivable en 0

b) Quelque difficulté :
f´(x) = 2x(ln x -3/2) + x/2
la je bloque un peu :s

Personne peut m´aider, au moins pour la dérivé

Alors pour la 1)a. tu as bon (sauf que tu t´es planté en recopiant, lim x>0 -(3x)/4 = 0 et non pas +infini.
Et effectivement elle est dérivable puisque tu viens d´établir que le taux d´accroissement en 0 tend vers une limite finie, qui est donc sa dérivée en ce point.

Ensuite on dérive : x(lnx-3/2)+(x²/2)(1/x), tu as donc un 2 en trop (oublie pas le 1/2 du x²). On va chercher le signe de ce machin pour avoir les variations de notre fonction.
On factorise donc par x, ça facilite toujours ce genre de chose :
f´(x)=x(lnx-1)
Or quand est-ce que lnx vaut 1? La fonction étant croissante, au-dessus de cette valeure lnx-1 est positif, en dessous il est négatif. Comme tu étudies sur R+, x est toujours positif. Tu as donc tout ce qu´il te faut pour faire un joli tableau de variations.

2)a.Si tu n´as pas encore la formule en tête, fourre-toi là une bonne fois pour toute : T(a) : y=f´(a)(x-a)+f(a)!
b.Rien de bien subtil, dérive, redérive et étudie. Tu ne devrais pas avoir de problème.

Vila j´espère que ça pourra t´aider, et si tu veux me remercier bosse-le sérieusement, ne te contente pas de recopier.

Ha ouip et j´oubliais : ton pseudo est magnifique!

lol merci de ton compliment, et aussi de ton aide ^^

mais la dérivé de x²/2 c´est 2x non?

Bha non la dérivée de x² est 2x, donc la dérivée de x²/2 c´est x.
Plus généralement, la dérivé de x^n c´est nx^(n-1) et la dérivée de k*f avec k constante, c´est k fois la dérivée de f.

Ah oui ok, j´avais pas compri la regle ...

quand est-ce que lnx vaut 1?
-> pour e^1

pour le reste je pense pouvoir m´en tirer, je posterai si je rencontre une difficulté ^^
Je te remerci encore yaya90

Yep c´est bien e. Et pas de problème
Par contre je ne pourrai plus te répondre ce soir, je jette un coup d´oeil à mes maths et je me pieute là.
Bonne chance.

Salut, j'ai le même exercice mais je bloque sur le calcul de dérivé et de dérivée seconde de h(x)...
Quelqu'un peut m'aider ?

Pour dériver h(x) il faut savoir dériver f(x). Il suffit d'utiliser la formule (uv)' = vu' + uv', avec v(x) = ln(x) - 3/2, u(x) = x²/2

Oui, ça j'ai trouvé et sa me donne f'(x) = x(lnx-1)
Mais après pour h'(x) je trouve xlnx -x+1 et pour h''(x) j'ai trouvé lnx mais je vois pas comment faire pour les signes des fonctions...

Non h"(x) n'est pas égal à ln(x), t'as oublié quelque chose après

h''(x) = lnx -1 ?

Euh merde désolé tu avais raison, ça fait ln(x)

C'est quoi que t'arrives pas après ?

Et beh pour le signe de h' et de h'', c'est nul et après positif. Et pour celui de h, on doit trouver un signe négatif de O à 4,5 environ et après positif, et je vois pas du tout comment faire pour le prouver avec le tableau de signe...

Mais tu as déjà étudié le signe de h'(x) complètement ?

Oui, c'est nul en ]0;1] et après c'est positif.
C'est bien sa ?

Non ça c'est le signe de ln(x). Je te parle du signe de h'(x) = x (ln(x)-1).

Moi j'ai trouvé h'(x)= x(lnx-1)+1
Et pour étudier son signe, je fais :
x(lnx-1)+1 = 0
x(lnx-1)= -1
x = (-1)/(lnx-1)
x = ...

Et... je bloque.

Pour étudier le signe de h'(x), tu prends sa dérivée h"(x). Tu connais son signe. Tu en déduis donc le sens de variation de h'(x).

Après, tu étudies les limites aux bornes de h'(x) et tu te rendras compte que h'(x) > 0 sur R+