Bonsoir,

J´espérais ne pas avoir à venir demander de l´aide, je m´en suis d´ailleurs retenu, mais rien à faire, j´ai beau réfléchir, je trouve pas.

Alors si une âme charitable pouvait me débloquer...

I. On considère (Un) définie, pour tout entier naturel, par Un=1/(n+"racine"1) + 1/(n+"racine"2) + ... + 1/(n+"racine"n)
1. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a:
n/(n+"racine"n) "inférieur ou égal" Un "inférieur ou égal" n/(n+1)
2. Etudier la convergence des suites définies par:
a. Vn = n/(n+"racine"n)
b. Wn = n/(n+1)
3. En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.

II. Soit (Un) la suite définie, pour n "supérieur ou égal" 1, par:
Un = 1 + 1/"racine"2 + 1/"racine"3 + ... + 1/"racine"n
1. Démontrer que, pour tout entier n "supérieur ou égal" 1 et tout entier k compris entre 1 et n, on a 1/"racine"k "supérieur ou égal" 1/"racine"n
2. En déduire que, pour tout n "supérieur ou égal" 1, on a Un "supérieur ou égal" "racine"n
3. Déterminer la limite de la suite (Un)

Voila je sais absolument pas comment m´y prendre, quelle méthode utiliser, bref j´ai beau réfléchir, en gros je réfléchis dans le vide...

Merci d´avance

pour le I1, ca devrait pouvoir se faire par récurrence

Ah, notion de première S dont j´ai zappé le principe... Je hais les suites!

Même pas besoin de récurrence :
n >= 1
Vn >= 1 (V pour racine carrée)
n + Vn >= n + 1
n/(n + Vn) <= n/(n + 1)

Ahhh j´avais pensé à un système d´inégalités dans ce genre mais je n´étais pas allé plus loin que penser.

Merci c´est déjà ça de gagné!

Ah je me souviens du coup ce qui m´avait bloqué, c´est le fait que Un soit entre les deux inégalités! Ca je comprends pas!

Dunadan, faut caser le Un ^^

Et aussi j´ai peut-être un oubli de propriété mais c´est bien le fait de diviser par n des deux côtés de l´inégalité qui fait changer le sign de cette dernière? (enfin pas le signe mais son sens quoi).

On ne divise pas par n, on applique la fonction inverse, qui est décroissant sur l´intervalle considéré

Oui excuse j´avais vu le n en bas ^^ Mais ça ne règle pas le problème du Un entre les 2...

Fais une récurrence, qui est, au passage, de niveau TS, et pas 1S

Flûte je l´avais pas vu. Je me disais bien aussi que ça servais à rien sans le Un, surtout qu´après il fallait utiliser le théorème des gendarmes.
Même sans récurrence ça rets très faisable :
soit ai le ième terme de la somme Un.
1 <= i <= n
1 <= Vi <= Vn
n + 1 <= n + Vi <= n + Vn
1/(n + Vn) <= 1/(n + Vi) <= 1/(n + 1)
donc pour tout i : 1/(n + Vn) <= ai <= 1/(n + 1)
On en déduit donc que : n/(n + Vn) <= a1 + ... + an <= n/(n + 1)
donc n/(n + Vn) <= Un <= n/(n + 1)

Ah donc c´est quelque chose que je suis censé avoir vu cette année, mais je vérifie... non y´a pas le mot récurrence dans mon cours ^^

Que veut dire/représente le "a" devant i?

Chui trop con, j´avais mal regardé la suite Un, ça aurait été très chaud à faire par récurrence :/

ai=1/(n+racine(i))

Ah ok c´était pour abréger quoi ^^ Bon je dois aller manger puis je reviens desuite pour de nouvelles aventures...

Merci beaucoup

Pour la question 2 je dois trouver une inégalité comme pour le 1?

Non, juste la limite de la suite...
lim n/(n+"racine"n) = lim n/(n(1+racine(n)/n) =1...
car lim racine(n)/n= lim 1/racine(n) =0

Non, pour le 2 il faut calculer les limites des suites.