En tatonnant je trouve x=3 et y=1 donc oui il doit y avoir des solutions.

Exact, je suis con, j´avais trouvé x=3 ou x=-3
mais comme un con, j´avais oublié une racine...
Enfin bref, si ma solution est bonne, ya que x=3 et x=-3 qui vont

x² = 6y² + y^4 + 2
==>y^4 +6y² +(2-x²)=0
on pose y²=Y
on a :
Y²+6Y+(2-x²)=0
cette équation n´a de solutions que si le discriminant du trinome (qui est en fonction de Y) est positif.

Delta=36-4(2-x²)=28+4x²=4(7+x²)
Il est évident que ceci est positif pour tout x, donc, quel que soit x, l´équation 2 solutions (mais pas dans Z)

ces solutions sont :
Y=-3-racine(7+x²)
et
Y=-3+racine(7+x²)

on avait posé y²=Y
donc, il faut que Y soit positif, donc, on peut jarter la première solution, qui est toujours négative...

il faut au moins que -3+racine(7+x²) soit un nombre entier, sinon, impossible que Y=y²
pour ceci, il faut que 7+x² soit un carré parfait
cad
7+x²=k² avec k€Z
7=(k-x)(k+x)
les diviseurs de 7 sont 1 et 7, on trouve donc comme seules solutions
x=3
k=4

et

x=-3
k=4

on a donc :
Y=-3+racine(7+9)=-3+4=1
donc, y=1

Oué, c´est exactement ce que j´ai fait

Beaucoup plus difficile :

Soient x,y,z,t € Z. Résoudre :

x^3 + y^3 + z^3 + t^3 = 3

avant de passer à autre chose, tu peux me dire en quoi consistait ta méthode faisable avec des connaissances de 2nde ? ^^

Nan,c ´est bon, j´ai trouvé, il faut mettre y^4+6y² sous la forme : (y+3)²-9

(y²+3)²-9, pardon

thorin_oak suite à quoi il suffit de résoudre 2n+1 = 7.

Ouep, c´est un raisonnement avec des inégalités :

x^2 = 6y² + y^4 + 2 <=> x² + 7 = (y² + 3)²

Ainsi on a x² < (y² + 3)² => x < y² + 3

De plus,

x^2 = 6y² + y^4 + 2 <=> x² = (y² + 2)² 2y² - 2

Ainsi lorsque 2y² - 2 > 0, on a x² < (y² + 2)² => x > y + 2

Par conséquent, y² + 2 < x < y² + 3. Puisqu´il n´existe aucun entier entre y² + 2 et y² + 3, l´équation n´admet aucune solution. Les solutions éventuelles seraient lorsque 2y² - 1 >= 0, càd lorsque y = -1, y = 0, y = 1. On examine alors chaque cas.

"<=> x² = (y² + 2)² + 2y² - 2" *

rhaa : "x > y² + 2" *

et c´est : "Ainsi lorsque 2y² - 2 < 0" ^^
mais pas grave^^

passons à ça : x^3 + y^3 + z^3 + t^3 = 3

un indice pour résoudre, please ? XD

Humm, en fait cet exo ne repose que sur de la manipulation algébrique pure ^ ^ Et j´vois pas quel indice de plus je pourrais te donner ...

J´oubliais : x,y,z,t non nuls

CoeurBrise J´ai une méthode plus simple à partir de x² + 7 = (y² + 3)².

Il suffit de résoudre x² + 7 = z². De cette équation on déduit que x et z doivent être "petits", en effet :
(n+1)²-n² = 2n + 1.
Dans le cas où |z| = |x|+1, il faut donc que 2|x|+1=7, d´où |x|=3 puis |z|=4. On en déduit les solutions.

Dans le cas où |z| = |x|+k, avec k>1, on doit résoudre 2|x|+k²=7, qui n´a pas de solution. (Ca marche pas pour k=2, et 7-k² et négatif pour k>2.)

Donc toutes les solutions sont bien x=3 ou -3, y=1 ou -1

CoeurBrise "x,y,z,t non nuls" signifie-t-il "x,y,z,t tous non nuls" ou "x,y,z,t non tous nuls" ?

Tous non nuls.

bon ben moi, j´attends que vous donniez la réponse, parce que je trouverai pas xD

On peut pas avoir juste une piste ?