ok, dans ce cas, je propose :

supposons x pair, on a alors :
x=2n
donc,
x²=4k+p revient à :
4n²=4k+p
pour que cette égalité soit vérifiée, il faut que p soit multiple de 4, posons donc p=4j
4n²=4(k+j)
k=n²-j

donc, si x est pair, alors, les solutions (x ; k ;p ) sont (2n ; n²-j ;4 j), avec n et j appartenant à Z

Si x est impair, on a :
x=2n+1
et donc
4n²+4n+1=4k+p
4(n²+n)=4k+(p-1)
même raisonnement que précédemment, on pose p-1=4j
et on arrive à :
n²+n=k+j
k=n²+n-j

les solutions, si x est impair, sont donc :
(2n+1 ; n²+n-j ; 4j+1)
avec quels que soient j,n appartenant à Z²

j´ai bon ?

Ah oui d´accord, oui en fait on peut faire ça ... juste que je n´avais pas fait comme ça puisque je connaissais déjà les valeurs de p qui satisfont l´équation (c´est un résultat "connu") mais oui pour le démontrer rigoureusement, il faut faire un raisonnement par disjonction de cas sur x.

throin tu viens de nous embrouiller moi et CoeurBrise.

thorin*

Ce qui me chagrine dans ta solution, c´est que tu exprimes tes solutions à l´aide de 2 variables ... Normalement, la division euclidienne c´un carré par 4 ne peut donner que 0 ou 1 comme reste (donc p = 0 et p = 1) ...

pourtant, (7 ; 4 ; 33) est solution, et p n´est égal ni à 1 ni à 0...non ?

Ma solution :

Il est clair que les seules valeurs possibles de p sont 0 et 1. En effet, si x est pair, ie x = 2k, alors x² est divisible par 4, ainsi le reste vaut 0, et si x est impair, ie x = 2k + 1, alors x² = 4(k² + k) + 1 et donc le reste vaut 1 dans la division euclidienne par 4.

• cas p = 0 : x² = 4k.

Ainsi 4 | x², d´où x = 2m. L´équation se réécrit alors :
4m² = 4k <=> k = m².
Ainsi les solutions sont (x , k , p) = (2m, m², 0)

• cas p = 1 : x² - 1 = 4k <=> (x - 1)(x + 1) = 4k.

Ainsi 4 | x - 1 ou 4 | x + 1.

Si 4 | x - 1 alors x = 4m + 1. L´équation se réécrit :
(4m + 1) = 4k + 1 <=> 16m² + 8m + 1 = 4k + 1 <=>
k = 4m² + 2m

Si 4 | x + 1 alors x = 4m - 1. L´équation se réécrit alors :
(4m - 1)² = 4k + 1 <=> k = 4m² - 8m

Finalement, les solutions sont :
(x , k , p) = {(2m, m², 0), (4m - 1, 4m² - 8m, 1), (4m + 1, 4m² + 8m, 1)}

Oui, c´est ce qui est bizarre

je pense pas que ce soit bizarre.
c´est juste que tu as fait comme si c´était une division euclidienne, alors que ça n´en est pas une :
dans une div euclidienne, si ne me m´abuse, le reste est inférieur au diviseur, condition qui n´est pas posée dans l´énoncé de ton exo.

+1 thorin.

Exact thorin, j´avais omis ce détail (en fait j´avais résolu l´exercice x² = 4k + 3, puis j´avais "inventé" l´exo proposé en remplacant 3 par p, mais j´avais "oublié" que le reste était strictement inférieur au diviseur )

^^

t´en as d´autres ? =)

Oui ;- )

Résoudre dans Z :

x² = 6y² + y^4 + 2

Allez un simple :

Trouver 3 entiers naturels a,b et c verifiant :

1/4= 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2

C´est qu´un exercice de tâtonnement celui-là ^ ^ Ce serait plus intéressant de "tous les trouver", je pense.

Je suis d´accord, ce serait plus intéressant ^^
c´est possible avec les connaissances de 2nde ?

Mon exercice ? Humm, il y´a effectivement un "raisonnement de 2nd" (enfin, c´est un grand mot, je veux dire, qu´il n´y a aucune connaissance de 1°/T°S à avoir, mais après, je doute que beaucoup de Secondes sachent le résoudre), sinon une deuxième méthode celle que j´ai trouvée, se base sur des connaissances d´algèbre de 1°S, et des notions élémentaires d´arithmétique.

Je pense que la deuxième méthode est la plus "évidente" à trouver

Juste pour savoir : est-ce qu´il y a des solutions ?

Humm, faut que je refasse l´exercice en fait, je n´ai plus ma solution sous les yeux, mais de tête, j´crois que oui, mais pas beaucoup.