Soit f la fonction définie sur R par f( x)= x^3
Demontrer que la fonction f est croissante sur [0;+inf[ et sur ]-inf;0]

Personne sait comment le prouver pour ]-inf;0] ?

Tu es en quelle classe ?

seconde

ah donc t´as pas les dérivées?ben écoute je sais plus faire sans (intervention qui sert à rien je sais)

Montre que pour h positif et x négatif f(x+h) - f(x) est positif

J´écris ça pour l´instant :

Soient x1 et x2 deux réels tels que
o < x1 < x2
On élève au cube :
o < x1^3 < x2^3
Donc f(x1) < f(x2) avec x1 < x2
Donc F est croissante sur [0;+inf[

Mais après pour ]-inf;0] je fais comment?

Je te propose de poser x et y tels que :

x < y < 0

donc : 0 < -y < -x

donc : f(0) < f(-y) < f(-x) conservation du sens des inégalités, car f est croissante sur [0,+oo[

donc : 0 < (-y)^3 < (-x)^3

donc : x^3 < y^3 < 0

donc : f(x) < f(y) < f(0)

On a donc f croissante sur ]-oo,0]

"Soient x1 et x2 deux réels tels que
o < x1 < x2
On élève au cube :
o < x1^3 < x2^3
Donc f(x1) < f(x2) avec x1 < x2
Donc F est croissante sur [0;+inf["

Le passage "on élève au cube" revient à
utiliser le fait que f(x) est croissante sur R+* pour montrer que f(x) est croissante Sur R+*

en revanche, on a le droit de multiplier les inégalités entre elles si tout est positif :
prenons x et y postifs
x<y
x<y
x<y
==>x^3<y^3

maintenant, prenons x et y négatifs.
x<y
-x>-y
-x>-y
-x>-y
on multiplie les 3 dernières, sachant que tout st positif :
-(x^3)>-(y^3)
on multiplie par -1
x^3<y^3

le sens est conservé, al fonction est croissante...

f(x)=x est croissante sur ]-inf;0]
donc la composée f(x)*g(x)*h(x) avc g=h=f est croissante sur l´intervalle de départ nn?

elle vient d´où cette propriété ?
attention avec les impro sur les composées...

c´était pas une composée mais une multiplication pardon ....

lol en plus
c´est dommage de ne pas connaître la factorisation de a cube moins b cube...

• franc3sco profil

* Posté le 02 mai 2007 à 19:16:54 avertir modérateur
* f(x)=x est croissante sur ]-inf;0]
donc la composée f(x)*g(x)*h(x) avc g=h=f est croissante sur l´intervalle de départ nn?

f(x) = x croissante sur - inf 0

f(x)*f(x) = x² décroissante sur -inf 0

Marche pas ton truc.

Miss : utilise le fait que f est impaire, elle est donc symétrique par rapport à l´origine, et donc a même sens de variation sur les deux intervalles.

ok je sors....

Soient -x < -y <= 0

Ainsi, -x^3 <= 0 et -y^3 <= 0

-x^3 + y^3 = (y - x)(x² + xy + y²)

Puisque y - x > 0 et x² + xy + y² > 0, on a alors (y - x)(x² + xy + y²) >= 0.
D´où -x^3 < - y^3, le sens de l´inégalité étant inchangée, on en déduis que f(x ) = x^3 est croissante sur ]-oo ; 0]

Humm, j´ai rien dit, y´a un blem puisque y - x < 0 ....

x^3=x*x²

x² est croissante, x est croissante donc leur produit est croissant. Il me semble que c´est valable en seconde.

x²=x*x
sur ]-l´infini ; 0], x est croissant, pourtant, x² est décroissante^^

Il sert à rien Xbox ?