Bonjour,

J´ai un exercice de mon DM qui me pose problème, pouvez-vous m´aider ?

Soient a,b,c les longueurs des côtés d´un triangle. Démontrer que :

a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) < 2

Merci.

Salut,

On pose a = x + y, b = x + z et c = y + z avec x = (a + c - b)/2, y = (a + b - c)/2 et z = (b + c - a)/2, notre nouvelle inégalité est alors :

(x + y)/(x + y + 2z) + (x + z)/(x + 2y + z) + (y + z)/(2x + y + z) < 2

Or,

(x + y)/(x + y + 2z) + (x + z)/(x + 2y + z) + (y + z)/(2x + y + z < (x + y)/(x + y + z) + (x + z)/(x + y + z) + (y + z)/(x + y + z) = 2(x + y + z)/(x + y + z) = 2

Ce qui achève la démonstration.

Guillaume.

Putin, en 2 lignes, j´viens de voir mon pote, il a fait 10 lignes ..... Pourquoi t´as posé a = x + y etc ... ? Intuition de génie à la ramanujen lol ?

l´envie d´un sale S sous homme de se sentir utile voilà tout ce cher Guigui n´a aucune valeur alors il veut exister comme il peut

Pourquoi j´ai posé ça ? Parceque dès que les variables manipulées sont des longueurs d´un triangle, il est utile de faire un changement de variable comme indiqué çi-dessus (transformation de Ravi), de ce fait cela supprime les contraintes imposées par les inégalités triangulaires reliant a, b et c et cela permet donc de ne manipuler que des variables positives.

Pwnt by 1èreS.

lol mdr savabi1watza?

Ouai tranquile et toi ?

Rien de magique. ^^

http://www.animath.fr/tutorat/triangle.html#Transformation%20de%20Ravi

Depuis quand les maths c´est de la magie, Edou ?

T´es en 1ère S Coeurbrisé ... ?

Sinon j´ai une autre inégalité à montrer, plus dure, je n´y arrive pas, si toi ou quelqu´un dotre pouvais m´aider ... J´ai horreur des ingéalités ...

Soient a,b,c, des réels tq 0<= a,b,c <=1.
Montrer que

a/(b + c + 1) + b/(c + a + 1) + c/(a + b + 1) + (1 - a)(1 - b)(1 - c) <= 1

Humm, plus difficile...

Ah,j´ai peut-être un truc, j´suis pas sûr, mais euh, on voit les fonctions convexe en MPSI ?

Si oui, alors :

On remarque que

f(a,b,c) = a/(b + c + 1) + b/(c + a + 1) + c/(a + b + 1) + (1 - a)(1 - b)(1 - c)

est convexe en chacune de ses variables sur un cube de R^3. Cette fonction atteint donc son maximum en un point extrémal du cube, soit l´un de ses 8 sommets. Ce qui achève la démo.

Dire qu´une fonction est convexe, c´est juste signaler qu´elle se courbe avec le dos tourné vers le bas. C´est juste un + en Analyse (Convexe/Concave).

Oui, et la définition est un peu plus complexe que f"(x)>=0

Tidus > C´est la conséquence graphique ça, dire qu´une fonction est convexe (resp. convace) signifie que :

Soient I un intervalle et f : I -> R une fonction numérique

La fonction f est dite convexe (resp. concave) si on a :

f(lambda * x_1 + (1 - lambda)*x_2) <= (resp >=) lambda*f(x_1) + (1 - lambda)*f(x_2)

pour tout x_1 et x_2 dans I et pour tout lambda € [0;1]

T´as aussi l´inégalité de convexité, et d´autres propriétés qui se rattachent à cette notion*

je préfere la définition de tidus, vu que c´est exactement la meme

Pas forcément, y a une question de barycentre il me semble. Et celle de tidus, elle est plus difficile à appliquer avec les fonctions "pas continues". xP(on trace comment les courbes? \o/)

la définition numérique de coeurbrise signifie exactement que sur tout segment [x1,x2], quel que que soit x dans [x1,x2] le point de la droite (x1,f(x1))(x2,f(x2)) d´abscisse x est au dessus de f(x)

• Watza][Kamikaze profil

* Posté le 25 avril 2007 à 18:59:10 avertir modérateur
* Pas forcément, y a une question de barycentre il me semble. Et celle de tidus, elle est plus difficile à appliquer avec les fonctions "pas continues". xP(on trace comment les courbes? \o/)

Justement, le truc des barycentres c´est exactement ce que CoeurBrise a marqué ^^