tantale
c´est exactement ca ayant vu les polynômes a n indéterminée
un polynôme a n indéterminée est symétrique si et seulement si pour tout s appartenant a Sn on a
P(X1,X2,.....,Xn)=P(Xs(1),....Xs(n))
pour n=2 le groupe symetrique S2 n´a que 2 elements l´element neutre et la permutation 12 donc il suffit qu´elle verifie P(X,Y)=P(Y,X)

Pour n = 2 on a bien le polynome de Newton :

x + y
xy

, si j´ai bien compris ?

Pour n = 3

x + y + z
xy + xz + yz
xyz

En gros, ce sont les mêmes polynomes que l´on utilise dans les relations de Viète ?

Bon, c´est bien beau tout ça, mais en fait ce que j´aimerais savoir, c´est sa forme générale au degré n ... Je ne sais pas si ça peut vous aider, mais voici l´exercice.

"Soit P(x,y) un polynôme symétrique divisible par (x - y). Démontrer que ce polynôme est divisible par (x - y)²"

Si P est divisible par (X-Y), il existe Q(X,Y) tel que P(X,Y)=Q(X,Y)*(X-Y).
Il suffit alors de montrer que (X-Y)|Q(X,Y) ce qui revient à Q(Y,Y)=0...

comme l´a dit Tantale, on a P(x,y)=P(y,x), et P(x,y)=(x-y)*Q(x,y)

en injectant la 2e egalité dans la premiere, on obtient:
Q(x,y)=-Q(y,x) pour tout x différent de y, égalité qu´on prolonge par continuité en x=y (Q polynomiale donc continue), ce qui donne Q(y,y)=0 quelque soit y, d´où Q divisible par (x-y) aussi.

" P(x,y) divisible aussi par (x - y)² " ... Je ne vois pas où ce terme, (x - y)², apparait dans votre démo ....

Néanmoins, je ne vous avez pas demandé de résoudre l´exercice ....

c´est l´hopital qui se fout de la charité ?? ?
ça me parait difficile de te montrer où le (x-y)² apparait dans la démo sans te montrer la démo...

Bah j´ai cru que ce que vous m´aviez écrit était une ébauche de démo ...