je suis une eleve de 1er S et je suis bloqué sur 2 exos

EX1
Demontrer que pour tout entier naturel n non nul

V(n+1) - Vn < 1/(2Vn) V = racine carré

2 Soit al suite de terme general Sn=1/(V1)+1/(V2)+1/(V3)+....+1/(Vn)

utiliser la premiere question pour justifier Sn>2(V(n+1)-1)

Quelle limite peut t´on envisager pour la suite Sn

Celui la est compliqué , j´arrive pas a trouver la solution
Ex2
Soit la suite Un de terme general Un=(n-1)/(n+1) , n>2

1a) Quel est le sens de variation de la suite

b)quel est sa limite ? on utilisera Un= (1-(1/n)/(1+(1/n))
egalité qu´on justifera

2) a)On definit la suite Pn n>=2dont le terme general est le produit des n-1 premier terme de la suite Un
Pn= U2.U3.u4.u5.u6....

Demontrer que la suite est decroissante

b) Demontrer quelque soit l´entier n , n >=2
Pn= 2/(n²+n). Quelle est la limite de la suite Pn ?

c) calculer P60 = 1/3 x 2/4 x 3/5 x .... x 59/61

merci

tu peux m´aidé doudoune ?

ex2:
1a. n>2 donc pour tout n n+1>0 donc Un+1/Un et tu obtiens le sens de variation.

b. divise par n le dénominateur et le numérateur.

2a. écrit le produit tu vas remarquer quelque chose ...

b. avec l´expression du produit obtenue à la question précédente tu obtiens Pn. Pour la limite c´est plutot facile

c. d´après b. Pn=... donc P60=...

Comment tu obtient le sens de variation avec cette formule Un+1/Un ?
C´est pas plutot on multiplie le den et le num par n ?
Pourrait tu m´expliquer la question sur le produit , j´ai pas compris

Sinon ça doit etre bon lol

quand tu fais Un+1/Un (quand tu as le droit ! Un différent de 0)

si Un+1/Un>1 alors Un+1>Un donc la suite est croissante et vice versa.

Pour le produit tu obtiens:

(1/3)*(2/4)*(3/5)*(4/6)... etc
tu remarques qu´il se simplifie (écris le sous forme de produits de fractions ca sera plus clair)
ensuite cherche les termes qui ne vont pas se simplifier.

Pour le sens de variation utilise plutôt Un+1 - Un.
Il faut bien diviser le numérateur et le dénominateur par n pour la 1)b).
Ecrit le produit U2*U3*...*Un en utilisant à chaque fois Un = (n-1)/(n+1). Tu verras que ça va beaucoup se simplifier.

Exercice 1 :
1) A mon avis il faut utiliser la récurrence.
2) D´après le 1) V(n+1) - Vn < 1/(2Vn) donc 2(V(n+1) - Vn) < 1/Vn
Donc 2(V2 - 1) < 1/V1 ; 2(V3 - V2) < 1/V2 ; ...
D´où 1/V1 + 1/V2 +...+1/Vn > 2(V2 - 1 + V3 - V2 +...+V(n+1) - Vn)
Tu remarques que beaucoup de termes se simplifient et tu retrouves donc ton résultat.
Pour la limite, 2(V(n+1)-1) tend vers +00 et Sn > 2(V(n+1)-1) donc Sn tend aussi vers +00.

Alors totu d´abord , emrci beacuoups , vous etes trop chou mais j´ai plusieurs question

pour la 1(b), j´ai multiplier par n/n et je trouve 0 :S

ensuite pour le exo 1(2) , j´ai pas trop compris

(n-1)/(n+1)=(1-1/n)/(1+1/n) si n -> infini ...

(n-1)/(n+1) = (n(1-1/n))/(n(1+1/n)) = (1-1/n)/(1+1/n)

Desolé mais je suis un fatigué , car enfaite c´est un gros dm de 9exo et la je suis un peu epuisé lol
Donc tu pourrais me detaillé juste
"b. divise par n le dénominateur et le numérateur. "

et pour l´exo 1, enfaite j´ai compris la totalité sauf :"Tu remarques que beaucoup de termes se simplifient et tu retrouves donc ton résultat. "

c´est bon ,j´ai tout pigé :D

jai uen question que j´ia pas remarquer ,dans l´exo 2 , j´ai remarquer qu´il faut demontrer que la suite est decroissante mais moi j´ai trouver qu´elle etait croissante lol
Que faire ?

j´ai fait Un+1 - Un

Pn+1 - Pn = U2*U3*...*Un*Un+1 - U2*U3*...*Un = U2*U3*...*Un(Un+1 - 1)
Pour tout n > 2, 0 < Un < 1, donc U2*U3*...*Un > 0 et Un+1 - 1 < 0, donc Pn+1 - Pn < 0 donc Pn est décroissante.

j´ai pas compris ça : Un = U2*U3*...*Un(Un+1 - 1)

dans ce cas la je crois que c´est plus simple avec Pn+1/Pn (en vérifiant que Pn différent de 0)

Je n´ai pas écrit "Un = U2*U3*...*Un(Un+1 - 1)" mais
"U2*U3*...*Un*Un+1 - U2*U3*...*Un = U2*U3*...*Un(Un+1 - 1)".
Les * sont des signes de multiplication.

je sais , mais pourquoi (Un+1 - 1) ? d´ou vient -1 ?

Si tu poses a = U2*U3*...*Un, ça donne :
Pn+1 - Pn = a*Un+1 - a, ce qui est bien égal à a(Un+1 - 1). J´ai fait une simple factorisation.

j´ai fait comme tu ´mas dit , mais en faisant le produit , j´ai pas remarquer qu´il s´annulé , et j´arrive donc pas a demontrer que Pn=2/n²+n