Yop,

J´ai des problèmes avec ma messegarie, je n´arrive pas à t´envoyer un émail, je poste donc mon émail ici en attendant que toi (ou un autre d´ailleurs) veuille bien me répondre :

Je voulais savoir si le raisonnement et donc les solutions sont justes de cet exo d´Olympiade auquel je me suis frotté en guise d´entraînement cet aprèm :

Résoudre en nombres entiers non nuls l´équation : x^3 + 2y^3 = 4z^3

x^3 = 4z^3 - 2y^3

4z^3 - 2y^3 est un nombre pair divisible par 2 mais pas par 4, on en déduis alors que forcément x^3 est un nombre pair lui aussi divisible par 2 mais pas par 4.

Posons x = 2k avec k = 2m + 1 pour que le nombre x soit exclusivement divible par 2. On a alors :

(2k)^3 = 4z^3 - 2y^3
8k^3 = 4z^3 - 2y^3
4k^3 = 2z^3 - y^3
y^3 = 2z^3 - 4k^3

2z^3 - 4k^3 est un nombre pair divisible par 2 mais pas par 4, on en déduis alors que forcément y^3 est un nombre pair lui aussi divisible par 2 mais pas par 4.

Posons y = 2k´ avec k´ = 2m´ + 1. On a alors :

(2k´)^3 = 2z^3 - 4k^3
8k´^3 = 2z^3 - 4k^3
4k´ = z^3 - 2k^3
z^3 = 2k^3 + 4k´^3

2k^3 + 4k^3 est un nombre pair divisible par 2 mais pas par 4, on en déduis alors que forcément z^3 est un nombre pair lui aussi divisible par 2 mais pas par 4.

Posons z = 2k" avec k" = 2m" + 1. On a alors :

(2k")^3 = 2k^3 + 4k´^3
8k" = 2k^3 + 4k´^3
4k" = k^3 + 2k´^3

Ainsi de suite, on pourrait créer une suite infinie et strictement décroissante d´entiers naturels vérifiant x^3 + 2y^3 = 4z^3. Alors, d´après le théorème de la descente infinie, on en déduis qu´une suite infinie strictement décroissante d´entiers naturels n´existe pas. Donc il n´existe aucune entiers x,y,z vérifiant l´équation initial.

J´ai bon ?

Mouarf si c´est bon t´es prêt pour les olympiades !

Je suis loin d´être prêt, je suis toujours à la recherche du livre "olympaides mathématiques : réflexes et stratégies" de SOULAMI qui reste introuvale ....

Ah tiens, ce livre la pourrait m´intéresser également.

T´as fait tout ça en combien de temps ?

Il date de 1999 le livre, donc ça va etre plus dur à trouver.

Je vais voir si je peux le commander à la librairie ou à la fnac.

Humm, la solution j´ai du la trouver en 10aine - 15aine de minutes (faut dire qu´avec le théorème de la descente infinie ça va vite surtout qu´il n´était pas très dur celui-là, enfin, si j´ai juste bien sûr), et donc après il a fallu que je rédige tout ça, donc en tout : résolution du problème + rédaction = une vingtaine de minutes ou + je pense.

Je me suis renseigné auprès d´Ellipses, il ne le publie plus, j´suis allé sur des sites qui vendent de slivres do´ccaz, ils ne l´avaient pas J´ai donc envoyé une lettre postale aux Editions Ellipses à l´intention de ce monsieur, je n´ai toujours pas eu de réponse de sa part ...

Théorème de la descente infinie ? T´as vu ça sur wiki ?

Ellipses éditeur de Method´S

Humm, je l´ai vu sur un bouquin ce théorème, mais je ne sais plus lequel.

Sinon tu avais combien de moyenne en maths l´année dernière en seconde ?

Héhé, vous ne vivez tous que par les moyennes : 14 - 15 par là

Seulement ? Soit tu es dans un lycée élitiste, auquel cas ton 15 vaut un 18 dans un autre lycée, ou bien tu es dans un lycée dit "normal" et la ça m´étonne plus.

Ou bien tu as choppé le déclic cet été.

Ellitiste ? Euhh, 98% de réussite au BAC ça compte ? .Si tu veux mes notes en Seconde étaient en dent de scie lors des DS : ça varier de 13 à 18 (je suis quelqu´un qui stresse beaucoup et qui manque de confiance en soi, des fois j´passais plus de 5min à refaire un calcul car je n´étais pas sûr qu´il soit juste, même si je voyais au bout de 2 fois le même résultat sur ma calculette, malgrès ça je réitérais à chaque fois, donc çe ma fait perdre du temps pour rien, je faisais bcp d´erreurs d´étourderies aussi quand je speed dans les dernières 15min) et vu que les DM n´étaient jamais comptés .... je ne pouvais pas me rattraper avec les DM ... J´espère que cette année ça va changer.

Coeurbrise Tu es dans quel lycée ? 98 % avec un effectif de combien ?

Lycée Bernard Palissy à Agen, euhhh ..... j´en sais rien, plus d´1 millier sûrement (Agen est une petite ville)

Non je parle de l´effectif en S. ^^

Et c´est un privé ou un public ? Très sélectif ?

Cette réponse est fausse !
Et tous vous admirez son "beau" travail (sans discrimination, lui au moins il s´est cassé la tête) sans avoir rien lu ou bien rien compris !
Vous etes désolants !

Je vais vois si je trouve une solution rapidement...

le_duche Je sors de 2 h de maths d´affilé, fatigué et usé par cette longue journée donc j´ai lu mais pas trop cherché à comprendre. ^^