Elle ne marche plus.

Pour t´être trompé, tu dois m´envoyer la tienne. ^^

J´en ai pas

J´ai toujours préféré la PSone

Je tombais sur les PGCDs dans l´équation.

mais mes solutions utilisent les logarithmes, ce qui n´est pas valable(pas intégrable car discret)

x( donc c´est pas niveau 1ère... snif.

:p

Nulle démonstration et, partant, non.

Les seules solutions sont bien x=0 et x=4 comme l´a dit qqun plus haut !
Et ca ne necessite pas plus que la matière de première... Arretez donc de vous borner aux résolutions d´équations qu´on vous met dans le bec d´habitude, ici ce sont des entiers qu´il faut trouver !

Evidemment ce n´est que la partie facile du problème... tout le truc est de démontrer qu´il n´y en a pas d´autre...
Pour vous mettre en gout, voici une partie de la demo:

si on pose f(x) = 2^(2x+1) + 2^x On voit bien que f est une fonction strictement CROISSANTE et strictement POSITIVE !
OR f(-2) = 2^(-3) + 2^(-2) = 1/8 + 1/4 = 3/8 est strictement plus petit que 1.
Donc forcément, si on prend n´importe quel entier x plus petit ou égal à -2, f(x) sera compris dans l´intervalle ]0,1[ et ne sera donc pas un ENTIER. Il n´y aura donc pas de solution.
On regarde en plus le cas où x=-1 et on a alors
2^(2*(-1)+1) + 2^(-1) + 1 = 2^(-1) + 2^(-1) + 1 = 2
et 2 n´est pas un carré d´entier.
On peut donc déjà conclure qu´il n´existe pas de solution avec un x négatif.

Reste à faire le travail pour les x positifs.... c´est un peu plus délicat ^^

Je ne suis pas sûr que ce soit dans cette logique que l´exos ait été donné. Au sens, que tu démontres par de l´analyse, or il semble que ce soit un peu plus arithmétiaque.

Moi je voyais : une équation type :

ax+by=c et on jouait au PGCD...

:/

Il y a de l´analyse dans la suite...

(je t´informe que le théorème de fermat est entre autre démontré par quelques centaine de pages de géométrie analytique... )

Ca doit être sympa à lire quand même cette démonstration, "ici nous utiliserons la conclusion de la 5e partie qui se trouve page 42, puis celle de la page 102 pour aboutir à ça, l´hypothèse de départ est donc démontrée, pour x compris entre 5 et 6, poursuivons ! ... "

"Facile et divertissant"

"Facile et divertissant"
Seuls une centaine de mathématiciens AU MONDE ont les connaissances suffisante théorique pour entreprendre une compréension de cette demo...

Bon alors ? personne pour mon problème ?
Vous etes tous nuls ou tous en rupture de cerveau ?

Ou peut-être que l´exo est chiant ?

12.

Huuuh, dans la deuxième partie faut démontrer qu´il n´y a pas de solution non entière ? (pour le couple (x,y)) ?

Juste parce que Maple semble me dire le contraire .... O_o

Montrer qu´il n´y a que DEUX solutions entières, pas plus. On parle pas des solutions décimales.

On peut avoir la réponse ?

"trouvez toutes les solutions de l´équation
2^(2x+1) + 2^x + 1 = y²
où x et y sont des ENTIERS !"

• Supposons x < 0. On arrive facilement à membre de gauche entier <=> x = -1 car alors ce membre = 2 qui n'est pas un carré.

• Supposons x = 0. Alors y = +- 2.

• Supposons x > 0. On vérifie que x = 1, 2 ne donne aucune sol entière. Supposons donc x > 2. Clairement, y est impair, y = 2n + 1, n>0. L'équation se réécrit alors, en posant z = 2^(x-2) :

z(1 + 8z) = n(n+1).

n et n+1 étant de parité contraire, soit n est pair soit c'est n+1.

i) Supposons n pair, n = kz avec un certain naturel k (comme z est déjà pair). Alors z = (1 - k)/(k^2 - 8). On a en particulier, z > 0, ce qui n'est possible pour aucune valeur naturelle de k.

ii) Supposons n + 1 = kz. Alors z = (k+1)/(k^2 - 8). En particulier, pour que z € N, don voit avoir k + 1 >= k^2 - 8. On vérfiie que ce n'est vrai que si k <= 3. On vérifie qu'alors, la seule valeur pour que z soit un entier est k = 3.

Finalement, on en déduit facilement les couples sol qui sont (0, +- 2), (4, +- 23).

La nécrophilie de topic, c'est mal.