Un peu plus dur

Traçons au hasard une corde dans un cercle.
Quelle est la probabilité pour qu´elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit dans ce cercle ?

http://www.edouardvitrant.net/ev_images/ev_images.jpg/corde.jpg

Tout de suite les grands moyens... On va chercher un peu avant. =)

Pas d´idée Neolink ?

J´dirais 66,6666...%
Le dessin arrive ^^

Je trouve un truc bizarre... la proba serait de rac(3)/2Pi + 1/3 oO

Numériquement, c´est pas loin de 0.6... On est pas si loins nico. =)

1)
Commençons par considérer toutes les cordes parallèles à une direction donnée...
Le rayon du cercle (C) étant r, nous avons :
OM=r.sin(pi/6)=r/2
d´ou p=1/2

2)
Cette fois, commençons par fixer l´une des extrémités de la corde sur le cercle...
Par raison de symétrie, nous pouvons supposer que l´une des extrémités de la corde a été fixée en un point A choisi aléatoirement sur le cercle (C).
L´autre extrémité B sera choisie au hasard sur la circonférence.

La probabilité que le point B tombe sur un arc donné de la circonférence étant proportionnelle à la longueur de cet arc, la corde est plus longue que le côté [MN] du triangle équilatéral inscrit dans le cercle lorsque B se trouve sur l´arc MN dont la longueur est le tiers de celle de la circonférence du cercle (C).
En conséquence, B devra être choisi sur l´arc de cercle opposé sous-tendu par le côté du triangle équilatéral inscrit.
Puisque le triangle équilatéral, tout comme le sommet A, détermine trois arcs isométriques.
donc p=1/3

Ouffff
C´est pas fini, je continue...

http://img484.imageshack.ck.us/img484/770/cercle5ue.png

(désolé pour le dessin mal foutu ^^)

Valà valà, donc 2/3 : on part d´un sommet du triangle (ici celui du bas), on envisage toutes les cordes possibles : 1/3 des cordes aboutissent dans l´angle de 60° à gauche, 1/3 dans celui du milieu, 1/3 dans celui de droite, seules celles de gauche et droite sont plus courtes que les côtés donc 1/3 + 1/3 = 2/3 = 66,666...%

Bien vu... On voulait les plus longues nous. =) Je sais pas pourquoi j´ai commencé à faire des calculs dégueus de surface machin.

3) Un cercle étant donné, choisissons un point au hasard dans ce cercle...
La longueur de la corde [AB] est déterminée par la position de son milieu I. Choisir une telle corde revient donc à se donner un point au hasard à l´intérieur du cercle.
La probabilité que la longueur de la corde soit supérieure à celle du côté du triangle équilatéral inscrit est alors égale à la probabilité que le milieu de la corde soit intérieur au cercle (C´) de rayon moitié, inscrit dans ce triangle.
En effet, la distance du milieu I de la corde au centre O du cercle ne doit pas excéder le rayon du cercle (C´).
Si r est la longueur du rayon de (C), celle du rayon du cercle (C´) commun à tous les triangles équilatéraux inscrits est r/2.
Le centre de la corde devra donc se trouver dans le cercle colorié en violet sur le schéma.
La répartition de ce point étant uniforme dans le cercle, la probabilité demandée est le rapport entre l´aire du cercle (C´) et l´aire du cercle (C).
donc p=A(C´)/A(C)
p=pi.(r/2)²/pi.r²=1/4

Il reste une derniere approche

Quoi mais c´est pas fini?! oO

4) Une fois la corde tracée au hasard dans le cercle, cherchons sa longueur...

Si r est le rayon du cercle (C), la longueur de la corde est clairement comprise entre 0 et 2r, longueur du diamètre du cercle.

Or, la longueur du côté du triangle équilatéral inscrit dans un cercle (C) de rayon r est rV3, longueur que l´on obtient par exemple à l´aide de l´identité d´Al-Kashi :
AC²=AO²+OC²-2AO.OC.cos(AOC)
AC²=3r² apres simplifications

La longueur de la corde doit donc être supérieure à r × sqrt(3).

La mesure étant continue, la probabilité cherchée est le rapport entre la longueur de l´intervalle possible pour la longueur d´une corde plus grande que celle du côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle, sur la longueur de l´intervalle possible pour la longueur d´une corde quelconque dans le cercle – c´est-à-dire le diamètre du cercle.

donc p=(2r-rV3)/2r=(1-V3)/2

Je trouve pas l´erreur du raisonnement de nico... Si erreur il y a.

Enfin bon... J´ai du boulot moi. Bonne nuit. =) ...

Erreur énorme, il ne part que d´un seul cas ;)

Il y en a 3 autres (si ce n´est plus), les dessins arrivent...

Attention tout de même, la réponse finale est 1 - (V3)/2, sinon la probabilité est négative oO ...

En effet

Voici les dessins

http://img45.imageshack.us/img45/8133/mathh3pw.jpg

Alors ?

Ca fait plaisir de voir des gens comme vous sur jeuxvideo.com y´a pas que des gamins fans de jeuxvideo...

Bonne chance pour vos résolutions, j´en suis aux intégrales simples moi :d