"C´est quoi la topologie de R barre ? "

C´est la topologie engendrée par les ouverts de R et les ensembles de la forme ]a;+inf[U{+inf}
]-inf;a[U{-inf} avec a appartenant à R.

C´est bizarre quand même ce {+-inf} tout seul...ça me gêne. Enfin c´est peut-être parce que je veux inconsciemment que R barre soit un espace vectoriel.

y a aussi l´ensemble des polynomes de K noté K[X] avec K un corps

tantale > pour quelle norme ?

Heu, je me suis peut-être mal exprimé : {+inf} n´est pas un ouvert.
Ce sont les ]a;+inf[U{+inf} qui servent de base de voisinages ouverts de {+inf}, en gros ce qu´on pourrait écrire comme ]a;+inf], pareil pour moins l´infini.

R barre n´a pas naturellement une structure de R-espace vectoriel. Cette topologie n´est donc pas associée à une norme. En fait, je ne pense pas non plus qu´elle soit associée à une distance. Sa principale utilité (enfin à ma connaissance) est de permettre de ne pas avoir à différencier le cas des suites divergeant vers un infini des suites convergentes.
Finalement, topolgiquement, cela revient à voir R barre comme un segment (on peut montrer que la tangente correctement prolongée réalise un homéomorphisme de [-Pi/2;Pi/2] sur R barre)

En gros c´est du bidouillage qui ne sert à rien ^^

comment tu fais de la topologie sans distance ?

De même qu´une norme n´est pas forcément associé à un produit scalaire, tu peux définir ce qu´on appelle "topologie" sans distance.

En gros, il s´agit de définir la notion de voisinage sans passer par la notion d´ouverts, puis si ces voisinages ont les propriétés des ouverts (et que l´ensemble recouvre ton espace il me semble, pas sûr que ce soit nécessaire), tu as défini une topologie sur l´espace. Dans des cas simples, tu peux ensuite te ramener à une distance, dans des cas plus généraux, non.

Si tu veux :
http://wwwdfr.ensta.fr/Cours/docs/MA102/Scours.pdf
page 20 et 21.

je vais regarder ca...