Je propos ede créer un topic où l´on proposera des exos un peu plus ardus que la moyenne, histoire d´approfondir un peu les math =) : A chaque exo posté, précisez le niveau nécessaire (la classe) ainsi que le niveau de difficulté (* : facile , ** : moyen ; *** : dur ; **** : très dur)

Je commence :

- Théorème de Pythagore et les aires -
Niveau 3ième - Seconde -> **
Corrigé de l´exo à la fin, fait par mes soins

(Je précise que vu que je n´ai pas de scanner, j´ai été obligé de refaire les figures via un macro de Word )

<< http://img49.imageshack.us/my.php?image=ex13fh.jpg >>

ABC est un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. Pour les 2 figures, ABC représente le même triangle.

Sur la figure 1, on a tracé 3 demi-cercles de diamètres respectifs : [BC], [CH] et (BH], ets ur la figure 2, le cercle de diamètre [AH].Le BUT de cet exo est de comparer les aires de ces 2 figures, notée respectivement A(1) et A(2).

I - Questions :

1) Démontrer que 2AH² = BC² - HB² - HC²

2) a) Démontrer que A(1) = pi/8 * [ BC² - HB² - HC² ]

b) Calculer A(2) en fonction de AH.

3) Concluez.

J´attends un peu avant de mettre la correction

A vos crayons !

/!\ ATTENTION, ceci est la correction PARTIELLE de mon exercice /!\

Appliquons le théorème de Pythagore à chaque triangle rectangle de la figure 1 (ou la 2, peu importe, vu que ces 2 triangles sont identiques). Notons T(ABC), T(AHB) et T(ACH), les 3 triangles étudiés :

T(ABC) : BC² = AC² + AB²

T(AHB) : AB² = AH² + BH²

T(ACH) : AC² = HC² + AH²

Nous devons démontrer que 2AH² = BC² - HB² - HC², analysons chacune des égalités en essayant de voir où apaprait ´AH´ -> Elle apparait dans T(AHB) et T(ACH), mettons-la en évidence

T(AHB) : AH² = AB² - HB²
T(ACH) : AH² = AC² - HC²

T(AHB) + T(ACH)
-> 2AH² = (AB² - HB²)+ (AC² - HC²)

Or, nous ne retrouvons pas la formule de départ. Or, nous pouvons voir que, dans la terme de gauche, il y´a la présence de ´AB² + AC²´, quis ont égaux à BC² dans T(ABC), donc remplaçons ces termes par BC², ce qui nous donne :

-> 2AH² = BC² - HB² - HC²

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Je vous laisse faire la suite, je jugeais que cette partie était la plus ´difficile´, même si elle n´était que visuelle

Tu veux des vrais exercices CoeurBrisé ?

Accroche toi !

on peut mettre plus de 18* ? :niarkniark:

Une question ***
Quel est le nombre de solutions de l´équation
a+b+c+d+e+f+g+h+i+j = 1000
sachant que a,b,c,d,e,f,g,h,i et j sont des naturels non nuls ?

Une question ****
Pour tout entier naturel n trouver le triplet d´entiers naturels ( p,q,r) tel que n = p+q+r et tel que pqr soit maximal

Une question *****
Trouver le plus grand entier x tel que
4^x+4^27+4^1000 soit le carré d´un nombre entier.

´Rallye Mathématique´ : *** - Niveau 2nd

Soit A = 111 111 111 111 - 222 222
Trouver racine(A) sans calculette.

A´ = (1 - 1/2²)(1 - 1/3²) .... (1 - 1/2004²)
Calculer A´

le_duche > Tu pourrais préciser le niveau requis (classe), pour voir si je peux les résoudre, merci

c´est que de la jugeote, tu peux trouver !

et le 111 111 111 111 - 222 222 je l´ai deja résolu qqpart sur ce forum, mais je ne sais plus ou...

Une question ***
Quel est le nombre de solutions de l´équation
a+b+c+d+e+f+g+h+i+j = 1000
sachant que a,b,c,d,e,f,g,h,i et j sont des naturels non nuls ?

En supposant que a=b=.....j (le contraire n´est pas précisé dans ton énoncé), on en déduis que

a=b=.....j = 100

Après, en admettant qu´ils sont tous différents les uns des autres :

Notons E l´ensemble des diviseurs de 1000

E = {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 20 ; 25 ; 40 ; 50 ; 100 ; 125 ; 200 ; 250 ; 500 ; 1000 }

• • J´ai pas trop le temps pour la suite **

Il suffit alors de diviser ´1000´ par 10 de ces diviseurs (choisis de manière intelligente)et d´additionner par la suite leur résultat, pour former ´1000´

pas du tout

je demande le NOMBRE de solutions et pas LES SOLUTIONS...

990^10 ?

non

j´ai pas encore fait le calcul, mais c´est beaucoup trop...
(enfin je crois)

Je serai même incapable de t´expliquer le raisonnement que j´ai fait pour tomber sur ce nombre (que moi aussi je trouve énorme).

En fait je me suis dit (en gros), que par exemple 20, avec 10 variables, on peut l´écrire de multiples façons, et que chaque variable peut prendre 20 valeurs différentes, et comme il y a 10 variables, on a 10^10 façons d´obtenir vingt en ajouter dix variables.

J´ai fait le même raisonnement pour 1000, mais c´est bancal

c´est de l´ordre de 10^21 alors que ce que tu as dit est de l´ordre de 10^30...

il faut penser à une astuce qui rend le problème évident

Ah, je viens de trouver la solution à mon problème (pendant mon cour de Grec, mais chut hein ...). Pour ceux de Seconde, elle est dans le livre ´TransMath´, dans le 1er chapitre :

<< A´ = (1 - 1/2²)(1 - 1/3²) .... (1 - 1/2004²)
Calculer A´ sous la forme d´une fraction irréductible >>

Posons n = 2

<< A´ = (1 - 1/n²)(1 - 1/(n + 1)²)(1 - 1/(n + 2)²).... (1 - 1/2004²) >>

Calculons ensuite terme par terme séparément.
Notons T(1) le premier terme, T(2) le second et ainsi desuite :

T(1) = 1 - 1/n²
= n²/n² - 1/n²
= n² - 1/n²
= (n + 1) (n - 1)/n²

T(2)= 1 - 1/(n + 1)²
= (n + 1)² - 1/(n + 1)²
= [(n + 1) + 1] [(n + 1)- 1]/(n + 1)²
= n(n + 2)/(n + 1)²

T(3)= 1 - 1/(n + 2)²
= (n + 2)² - 1/(n + 2)²
= [(n + 2) + 1] [(n + 2)- 1]/(n + 2)²
= (n + 3)(n + 1)/(n + 2)²

T(4)= 1 - 1/(n + 3)²
= (n + 3)² - 1/(n + 3)²
= [(n + 3) + 1] [(n + 3)- 1]/(n + 3)²
= (n + 4)(n + 2)/(n + 3)²

Maintenant, multiplions chaque terme consécutif :

R(1) = T(1)* T(2)
= [(n + 1) (n - 1)/n²]* [n(n + 2)/(n + 1)²]
= [(n + 1) (n - 1) * n(n + 2)] / [n²(n + 1)²]
= [(n - 1) (n + 2)] / [n(n + 1)]

R(2)= R(1) * T(3)
= [(n - 1) (n + 2)] / [n(n + 1)]* [(n + 3)(n + 1)/(n + 2)²]
= [(n - 1) (n + 2) (n + 3) (n +1)] / [n(n + 1) (n + 2)²]
= [(n -1) (n + 3)] / [n(n + 2)]

R(3) = R(2) * T(4)
= [(n - 1) (n + 3)] / [n(n + 2)]* [(n + 2)(n + 4) / (n + 3)²]
[ ........ ]
= [(n - 1) (n + 4)] / [n(n + 3)]

On peut observer ici une régularité :

- Au numérateur : Le premier terme reste ´intacte´ tandis que le deuxième s´incremente de ´1´ à chaque multiplication.

- Au dénominateur : ´n´ reste tjrs facteur du deuxième terme. Le deuxième terme s´incremente aussi de ´1´ à chaque multiplication, on en déduis alors :

A´ = (n - 1)(n + 2003) / n(n + 2002)
[....]
A´ = 2005/4008

<< Pour ceux de Seconde, elle est dans le livre ´TransMath´, dans le 1er chapitre >>

Je parlais du problème, pas de la solution bien sûr

Je viens de remarquer aussi quelque chose, c´est que plus n tend vers l´infini, plus A´ = 1/2 ... C´est bizare ...

enfin ´bizare´, j´veux dire, c´est la magie des math quoi