le_duche Posté le 18 octobre 2005 à 18:03:15 Avertir un administrateur à propos de ce message !A vertir un administrateur à propos de ce message !
et au passage, si c´est R+ c´est faux !
car si tu prend a=b=c=0 ca merde royalement !

J´ai donné un contrexemple plus haut
Donc on est nécessairement dans R+*

le_duche Posté le 18 octobre 2005 à 13:34:17

je suis là !
Je connais ce problème ! C´est dans R+o je crois.

Et l´autre ne s´était même pas donné la peine de réagir.
C´est vraiment honteux

Oui, c´est R+, puisque cette inégalité s´appelle "l´inégalité de Nesbitt" et n´est vraie que dans R+.

Démonstration un peu plus courte que le_duche :

Par symétrie des rôles on peut toujours supposer a >= b >= c d´où 1/(b + c) >= 1/(c + a) >= 1/(a + b), et alors l´inégalité de Chebychev s´applique

a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) >= 1/3(a + b + c)[1/(b + c) + 1/(c + a) + 1/(a + b)]

D´un autre côté, l´inégalité de Chebychev permet d´écrire, pour tous réels x_1,x_2...,x_n strictements positifs :

n = x_1*1/x_1 + x_2*1/x_2 + ... + x_n*1/x_n <= 1/n(x_1 + x_2 + ... + x_n)(1/x_1 + 1/x_2 + ... + 1/x_n)

Ce qui donne en posant x_1 = b + c, x_2 = a + c et x_3 = a + b :

1/(b + c) + 1/(c + a) + 1/(a + b) >= 9/2(a + b + c)

Ainsi,

a/(b + c) + b/(a + c) + c/(a + b) >= 9 * 1/6 = 3/2.

Ahhh, j´avais pas vu la date, au temps pour moi.

C´est ce qu´on dit...

Pas mal MI ... je te propose encore plus court . J´utilise une inégalité très basique, valable pour tout x > 0 :

x + 1/x >= 2 (1)

qui vient du fait que x + 1/x - 2 = (Vx - 1/Vx)² >= 0

D´après (1) on a alors

x/y + y/x + x/z + z/x + y/z +z/y >= 6

Donc,

x/y - y/y + z/y + y/x - x/x + z/x + y/z - z/z + x/z >= 3

Qui est équivalent à

x - y + z)/2y + (y -x + z)/2x + (y - z + x)/2z >= 3

Ou encore

(x - y + z)/y + (y - x + z)/x + (y - z + x)/z >= 3/2

En posant x = a + b, y = b + c et z = a + c, on trouve le résultat désiré.

Qui est équivalent à

x - y + z)/2y + (y -x + z)/2x + (y - z + x)/2z >= 3/2 **

CB et MI aiment faire étalage de leur science. (comme la confiture hmmm )

Qu´est-ce que c´est que ces trucs de malade?

Ne sois pas frustrée la vieille, on est tous humains et nous fonctionnons tous de la même manière : quand on sait quelque chose, on aime toujours le faire partager aux autres. De plus, l´étalage de science a un bon côté : ça permet aux autres potentiellement intéressés d´apprendre un truc nouveau.

Rien à voir avec de l´étalage de science. Tout le monde peut comprendre les théorèmes... =)

Sympa ta démo CB, très élémentaire. Parcontre, je pense que tu voulais marquer ça comme ça, qui serait plus juste :

"Qui est équivalent à

(x - y + z)/2y + (y -x + z)/2x + (y - z + x)/2z >= 3/2

En posant x = a + b, y = b + c et z = a + c, on trouve le résultat désiré."

Mary30 > Humm la confiture, hummm les tartines hum .... ça te dirait que moi et CB on te prenne en sandwich ?

Apparament ça chôme à la Fac en France ... Un Bac + 2 même pas foutu de résoudre ça alors que c´est à la portée d´un lycéen ...

Tu vois MI, tu viens de m´apprendre un truc. Même si on trouve une personne très chiante, elle peut quand même avoir des qualités.

J´ai un exo de CB Il m´a pas encore donné de corrections >_< et moi j´ai utilisé un truc pour avoir une valeur approchée et ensuite j´ai démontré que stay bien ça.

Soit a€IR+ tq a^3+1/a^3=18. Déterminer a^4+1/a^4 ^^

Si tu pouvais...

Tu mets du temps à trouver ça ? XD Ouai je te teste, pas cool, pas cool. J´ai acheté Problem Solving strategies pour après le bac, de Hengel je crois. Tu connasi ? ^^ C´est bien ? T´en connais des meilleurs.

Bref, en espérant que tu m´enverras pas chier ^^

Soit a€IR+ tq a^3+1/a^3=18. Déterminer a^4+1/a^4

On remarque que a^3 + 1/a^3 est une partie du développement de (a + 1/a)^3. En effet :

(a + 1/a)^3 = a^3 + 3a + 3/a + 1/a^3

Ainsi,

a^3 + 1/a^3 = (a + 1/a)^3 - 3a - 3/a
= (a + 1/a)^3 - 3(a + 1/a)

Ainsi on posant x = a + 1/a on a

a^3 + 1/a^3 = x^3 - 3x

Par une méthode similaire on a

a^4 + 1/a^4 = x^4 - 4x² + 2

a^3 + 1/a^3 = 18 <=> x^3 - 3x - 18 = 0

Une racine évidente est x = 3, après factorisation par (x - 3) tu obtiens un polynôme irréductible dans R[X], tu peux donc affirmer que x = 3 est la seule solution dans R de cette équation.

Ainsi,

a^4 + 1/a^4 = x^4 - 4x² + 2 = 3^4 - 4*3² + 2 = 47

Bon, c´est un exercice relativement facile si tu connais déjà les identités remarquables citées, donc j´ai pas mis longtemps puisque je les connaissais déjà.

Sinon le livre Problem Solving Strategies, je le connais, je l´ai, et oui, c´est un très bon bouquin pour s´initier aux Olympiades Internationales.

Ta méthode semble correct (t´as posé X = a^3 je présume ?) , mais elle nécessite une calculatrice : aux IMO, les calculatrices sont prohibées, donc bon ...

Merci beaucoup. ^^

Oui, en effet j´avais posé X=a^3 ^^ Et bon, c´est pas facile de montrer que (2sqrt(5)+17)^3=...

Hmm, va falloir que je travaille les identités remarquables.(quand je vois du a^3+b^3 je facto toujours en (a+b)(a²-ab+b²) et en général ça marche pas ) Et aussi les polynômes... Bien que ça se voit en 1èreS.

C´est pas pour s´initier aux IMOs, juste histoire de faire conccurence à CB et puis de faire un peu de maths pour la prépas...

Bref, remerci.

Atomnium > Je ne les ai pas insultés au cas où tu n´aurais pas remarqué.

Ceci dit, c´était juste pour le plaisir de pourrir le post de CB, et je ne pouvais critiquer le sien en laissant MI tranquille. ^^

T´es sûre que tu ne veux pas qu´on te prenne en sandwhich ?

Certaine mon cher, surtout que je sais qui tu es. ^^