esque quelqun pourez me prouvas cette demonstration mathematique
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>3/2

c´est quel niveau stp?

c pour mon cousin il est en bac+2

Il faudrait que le-duche, Redsparks ou d´autres passent par ici, mais ils se font plus rares depuis la reprise.
Quel ensemble pour a, b, c ?

medisait bien que ct pas evident car j´arrivais po:x
je pense que l´ensemble c´est R sinon il aurait precise.

Lol nan ça peut être un autre ensemble que R

bon bah demontres le ds C :d
sinon y´en a un autre dont j´ai oublié le nom qui se limite au cercle trigo. mais bon la ce serai debile de demontre ca ds un ensemble si restreint...

Même si on suppose que c´est dans R, bac+2 ce doit voler trop haut pour moi (nous ?) .
Et pourtant ça me dit quelque chose.... zut

Si c´est dans R cette proposition est fausse :

Un contrexemple : a = 0, b = 1, c = -2

je suis là !
Je connais ce problème ! C´est dans R+o je crois.

Ca fait lontemps que je n´ai plus fait des innégalités.

Donc j´essaye en live, je posterai une belle demo demain...

On fait un changement de variable:
x = a+b
y = b+c
z = c+a
Et par symétrie du problème, on peut supposer que 0<x<=y<=z
on a donc aussi 0<1/z<=1/y<=1/x
et y+z-x >= x+z-y >= x+y-z

On a donc:
(x+z-y)/(2y) + (x+y-z)/(2z) + (y+z-x)/(2x) >= 3/2
<=>
(y+z-x)/x + (z+x-y)/y + (x+y-z)/z >= 3
<=>
yz(y+z-x) + xz(z+x-y) + xy(x+y-z) >= 3xyz
<=>
yz(y+z)+xz(z+x)+xy(x+y) - 3xyz >= 3xyz
<=>
xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x) >= 6xyz

Bon ce sont des éléments par ci par là mais je ne trouve rien de concret... (je suis à la fac là...)
Je regarde ca ce soir et je poste la soluce demain.
IL faut probablement utiliser un théorème d´inégalité que je ne saurais pas restituer de mémoire...

par un théorème on peut déduire du dernier truc que j´ai écrit que

xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)>=xy(y+z)+xz(x+y)+yz(x+z)=x
y²+x²z+yz²+3xyz
il faut donc montrer que xy²+x²z+yz²>=3xyz ce qui découle du meme théorème.

Ce théorème s´appelle le théorème élémentaire des innégalités et dit que:
Si a1,a2,a3,...,an est une suite croissante de réels strictement positifs
Si b1,b2,b3,...,bn est une suite croissante de réels strictement positifs
Si Pn:N->N:q->Pn(q) est une permutation quelconque des n premiers nombres premiers
On pose C^ = a1*b1+a2*b2+...+an*bn
On pose C = a1*bPn(1)+a2*bPn(2)+...+an*bPn(n) ou les bPn(i) se lit "b indice Pn(i)"
On pose C_ = a1*bn+a2*b(n-1)+...+an*b1

Alors C_ <= C <= C^

Vous voulez que je remette tout ca au clair ?

(je peux éventeullement poster la démo de ce thm demain aussi si vous voulez)

meci de votre aide
oui sin tu peux le remettre o cl&iar ca serias bien

Le problème proposé est donc:

Montrer que pour tous réels strictement positifs a,b,c on a
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) >= 3/2

Pour démontrer cela, je vais avoir recours au théorème élémentaire des inégalités, que voici:

soit a[1],a[2],...a[n] une suite croissante de réels strictement positifs
soit b[1],b[2],...b[n] une suite croissante de réels strictement positifs
soit c[1],c[2],...c[n] une permutation de la suite des b[i]
On pose C^ = a[1]*b[1]+a[2]*b[2]+...+a[n]*b[n]
On pose C- = a[1]*c[1]+a[2]*c[2]+...+a[n]*c[n]
On pose C_ = a[1]*b[n]+a[2]*b[n-1]+a[3]*b[n-2]+...+a[n]*b[1]
Alors
C_ <= C- <= C^

Je ne le démontrerai pas ici (pcq je n´en ai pas le moyen sans le cours approprié sous la main)

Un cas particulier plus simple de ce théorème, et que l´on va utiliser dans la suite est de dire que:

Soient a,b,c,d,e,f des réels strictement positifs tels que
a <= b <= c
d <= e <= f
Alors
a*e+b*f+c*d <= a*d+b*e+c*f

il suffit en effet de prendre:
a[1] = a , a[2] = b , a[3] = c
b[1] = d , b[2] = e , b[3] = f
c[1] = e , c[2] = f , c[3] = d

Revenons au problème initial.
Par symétrie du problème on peut supposer que b<=a<=c
Posons
x = a+b
y = b+c
z = c+a
Ce qui implique que
a = (x+z-y)/2
b = (x+y-z)/2
c = (y+z-x)/2

Du fait que b<=a<=c, on tire les informations suivantes:
x<=y<=z
(x+y)<=(x+z)<=(y+z)
xy<=xz<=yz

L´inégalité à démontrer devient donc:
(x+z-y)/2y + (x+y-z)/2z + (y+z-x)/2x >= 3/2
Ce qui est équivalent à:
(y+z-x)/x + (z+x-y)/y + (x+y-z)/z >= 3
On multiplie les deux membres par xyz (qui est un réel positif):
yz(y+z-x) + xz(z+x-y) + xy(x+y-z) >= 3xyz
On distribue en partie:
yz(y+z) + zx(z+x) + xy(x+y) - 3xyz >= 3xyz
Ce qui est équivalent à:
xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) >= 6xyz
(je rappelle que c´est ce que l´on cherche à démontrer)

On a vu ci dessus que
xy<=xz<=yz et (x+y)<=(x+z)<=(y+z)
On peut y appliquer le théorème en posant
a[1] = xy , a[2] = xz , a[3] = yz
b[1] = (x+y) , b[2] = (x+z) , b[3] = (y+z)
c[1] = (y+z) , c[2] = (x+y) , c[3] = (x+z)
Ce qui nous fournit l´information que
xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) >= xy(y+z)+xz(x+y)+yz(x+z)
Donc si on arrive à prouver que le membre de droite est suppérieur ou égal à 6xyz, on aura gagné !

Donc, on veut prouver que
xy(y+z)+xz(x+y)+yz(x+z) >= 6xyz
C´est équivallent à:
xy²+zx²+yz²+3xyz >= 6xyz
Ce qui est aussi équivallent à:
(xy)y+(xz)x+(yz)z >= 3xyz

On applique à nouveau le théorème en posant cette fois:
a[1] = xy , a[2] = xz , a[3] = yz
b[1] = x , b[2] = y , b[3] = z
c[1] = y , c[2] = x , c[3] = z
Et le théorème nous dit alors que:
(xy)y+(xz)x+(yz)z >= (xy)z+(xz)y+(yz)x = 3xyz

CQFD (By Duche )

c R+
il faut se servir de linegalite suivante
a²/x+b²/y+c²/z>=(a+b+c)²/(x+y+z)

ouais ben moi je trouve que ma démo est bien suffisante !

et si ton cousin il est pas content de ma démo, et ben il devra s´en contenter ou s´en inspirer tout seul.
J´aime pas me casser le cul pour rien

et au passage, si c´est R+ c´est faux !
car si tu prend a=b=c=0 ca merde royalement !

Ptdr le mec il attend bien que t´aies fini ta démonstration et que tu te sois bien emmerdé pour te dire le morceau de l´énoncé qui fait que ça marche pas ...

Meme pas drole d´abord

Méchant Chaos_Clad

faycal13
Et tu dis même pas merci
Ca me donne pas envie d´aider d´autres gens des types comme toi !