Salut.

Si le texte est difficile à lire sur le forum, copiez-collez tout sur wordpad. Les retours à la ligne seront moins embêtants(sans aperçu avant de poster, je ne peux pa vérifier la forme générale de ce que j´écris).

Pour les critères de divisibilités, il faut passer par les congruences.

Je vais donner des exemples, ce sera plus clair.

A chaque fois j´utiliserai un nombre N de la forme:

N = an*10^n+...+a1*10+a0
N = somme des ak*10^k de 0 à n

Avec les coefficients ak des entiers naturels compris entre 0 et 9, et k un entier naturel.

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Divisibilité par 3 et par 9:

1=1 [3] ; 10=1 [3] ; 10²=1 [3] ; 10^k=1 [3] ; ...
a0=a0 [3] ; a1*10=a1 [3] ; ...

Par sommation des ak*10^k=1 [3] pour k de 0 à n, on obtient:
N=a0+...+an [3]
N=a0+...+an [9]

Donc tout nombre divisible par 3(respectivement par 9) est congru à la somme de ses chiffres modulo 3(resp. 9).

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Divisibilité par 11:

10=-1 [11] => 10^k=(-1)^k [11]

N=a0-a1+a2+...+(-1)^n*an [11]

Donc tout nombre divisible par 11 est congru à la somme alternée de ses chiffres modulo 11.

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Divisibilité par 7:

1=1 [7] ; 10=3 [7] ; 10²=2 [7] ; 10^3=-1 [7]; 10^4=4 [7] ; 10^5=-2 [7] ; 10^6=1 [7]

On est retombé au point de départ:
1=1 [7] et 10^6=1 [7]
10=3 [7] et 10^7=3 [7]
...

On peut donc catégorifier les modulos:
10^(0+5k)=1 [7]
10^(1+5k)=3 [7]
Et ainsi de suite.

Alors:

N=(a0)+(3*a1)+(2*a2)+(-1*a3)+(4*a4)+(-2*a5)+(a6)+(
3*a7)+... [7]

Prenons un exemple concret: 294
4+3*9+2*2=35
35=0 [7]
Donc 294 est divisible par 7.

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Divisibilité par 13:

1=1 [13] ; 10=-3 [13] ; 10²=-4 [13] ; 10^3=-1 [13]; 10^4=3 [13] ; 10^5=4 [13] ; 10^6=1 [13]

N=(a0)+(-3*a1)+(-4*a2)+(-1*a3)+(3*a4)+(4*a5)+(a6)+
(-3*a7)+... [13]

Exemple: 169
9-(3*6)-4=-13
-13=0 [13]
Donc 169 est divisible par 13.

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Je pense que tu as compris le truc. Je ne vais pas le démontrer, mais il paraît évident que pour tout nombre fini on pourra trouver une relation générale(grâce aux congruences qui sont cycliques).

Tu n´as plus qu´à énoncer la méthode générale si le coeur t´en dit.

A noter que la preuve par 9 se démontre de la même façon.

@+

PS: Je ne me suis pas relu, donc désolé pour les fautes si il y en a.

ouais je vois l´idée, mais ca devient fort compliqué et fort peu fréquent...

à ce rithme là, on peut "créer" tous les jours de nouveaux théorèmes qui sont des combinaisons de ceux qu´on a dejà, mais ca ne sert à rien...

Voilà un ptit exemple d´une belle démo pour une inégalité relativement simple...

https://www.jeuxvideo.com/forums/1-35-7595131-1-0-1-0-0.htm

Bien, pour continuer un peu l´idée générale de ce topic, je propose de m´incruster un peu histoire d´y déposer quelques ´astuces mathématiques´ :

------ Méthode itérative de Newton ------

Imaginons que vous soyez perdu un jour dans une forêt,avec comme seuls amis les arbres et les animaux. Vous n´avez rien sur vous, hormis votre cervelle (j´espère pour vous, vous allez en avoir besoin par la suite)et vos membres bien ratachés à votre jolis corps bien musclé (humm)...Bref, et là vous avez un coup d´blues, une idée vous vient alors en tête : Tiens si je calculais la racine carrée d´un nombre sans calculatrice (bah oui, pourquoi pas) ?

Eh oui mes amis, grâce à quelques divisions vous pouvez calculer la racine carrée d´un nombre, on apelle ça la méthode itérative de Newton :

Nous voulons retrouver la valeur de la racine carrée de 2, donnée par la table :

racine(2) = 1.414 2.

Prenons la valeur approchée u = 1. Ce nombre est trop petit, en revanche :

2/u = 2/1 = 2

est trop grand. La demi-somme :

u1 = 1/2(u + 2/u)

doit être meilleure que chacune des 2 premières. En effet :

u1 = 1/2(1 + 2) = 3/2 = 1.5

Recommençons avec :

u2 = 1/2(u1 + 2/u1)= 1/2(3/2 + 4/3) = 17/12 = 1.4167

Un 3° calcul fournit :

u3 = 1/2(u2 + 2/u2) = 1/2(17/12 + 24/17) = (17²+12*24)/(2*12*17) = 577/408 = 1.414 216.

On a ainsi obtenu le racine carrée de 2 à la précision 10^-4.

D´une manière générale, on choisit une valeur u proche de la racine carrée de a (en encadrant a entre deux carrés consécutifs). On calcule ensuite :

u1 = 1/2(u + 2/u) ; u2 = 1/2(u1 + 2/u1) etc...

Pour obtenir la précision 10^-2, on s´arrête au moment où les 2 premiers chiffres après la virgule ne changent plus.

interessant
merci prunO !

pour la suite, rdv sur mon blog de jv.com