D´un bouquin...
J´en ai plein comme ça donc pas de souci, je serai pas en rupture de stocks d´enigmes

La 1ère question est assez simple.
Les 2 suivantes sont plus délicates.
Les 3 questions se déduisent les unes des autres.

Bonne chance

Et ils ne donnent pas une référence de la question dans ton bouquin ?
C´est assez corsé q-même...

Problème des bouteilles:

a = nbre de bouteilles de champagne
b = nbre de bouteilles de vin
c = nbre de bouteilles de jus d´orange

On a le système
50a+10b+c = 500
a+b+c = 100
D´une part, on voit tout de suite que a < 10
D´autre part, on déduit directement du système que
49a+9b = 400
c-à-d
b = ( 400-49a)/9
ou encore
b = 44-5a-4(a-1)/9
Donc ( a-1) doit être divisible par 9, mais on a vu plus haut que a < 10; la seule possibilité est alors que ( a-1) = 0 et donc que a = 1.
On a alors le système
10b+c = 450
b+c = 99
qui nous donne comme solution
b = 39
c = 60

On a donc acheté 1 bouteille de champagne, 39 bouteilles de vin et 60 bouteille de jus d´orange.

Problème d´arithmétique un peu plus complexe tout spécialement pour moi

1) Pour tout entier naturel n trouver le couple d´entiers naturels ( p,q) tel que n = p+q et tel que pq soit maximal.

On a les équations bien connues
( p+q)² = p² + q² + 2pq 2pq = ( p+q)² - p² - q²
( p-q)² = p² + q² - 2pq 2pq = p² + q² - ( p-q)²
En additionnant ces équations on a
4pq = ( p+q)² - p² - q² + p² + q² - ( p-q)² = n² - ( p-q)²
Ainsi, pq est maximal lorsque p = q.
La valeur maximale que peut prendre pq est donc n²/4

2) Pour tout entier naturel n trouver le triplet d´entiers naturels ( p,q,r) tel que n = p+q+r et tel que pqr soit maximal

Par les théorèmes des moyennes, on sait que la moyenne géométrique de k nombre ( en particulier 3) est plus petite ou égale à la moyenne arithmétique de ces nombres, et il y a égalité si et seulement si les k nombres sont identiques.
Ainsi on a V(pqr) < ou = ( p+q+r)/3 = n/3
Donc si p = q = r, alors V(pqr) est maximum et pqr vaut n²/9

3) Trouver pour quelle valeurs entières naturelles de x et y l´expression x^p * y^q ( avec p et q entiers naturel) est maximum lorsque x+y = a entier naturel donné

Celui là j´ai pas trouvé, mais ca m´a l´air d´être assez compliqué à écrire.
Je suppose que l´idée c´est de travailler avec
( x+y)^(p+q) = somme de{i=0}à{i=p+q} C(p+q,i)x^i*y^(p+q-i)
mais j´ai rien trouvé...

notes:
j´ai travaillé avec p,q,r réels et non entiers comme tu l´as mis, pcq c´est le même principe sauf qu´il n´y a ps de chipotate à la fin selon que c´est pair ou non... est-ce que l´erreur vient de toi ?

le 1er exercice aurait pu se résoudre exactement de la même manière que le 2ème ( en prenant k=2) mais c´était plus simple et plus élégant comme ca...

j´ai fait une petite erreur dans le 2ème
ce n´est pas une racine carré mais une racine cubique pour la moyenne géométrique ³V(pqr)
et donc max(pqr) = n³/9

oups!

c´est à croire que je ne sais plus faire de math moi

n/3au cube ne fait ni n²/9 ni n³/9 mais n³/27

Trop fort le-duche

Tu as rason, les seuls nombres qui doivent être entiers naturels sont p et q dans le 3)

Petite indication à ne lire que si tu es vraiment bloqué :

Divise x^p y^q par p^p q^q, développe sous forme de produit et montre que la somme des termes du produit obtenu est constante

honnetement je crois que je vais pas chercher beaucoup sur cete question 3) ca me gave un peu et il ne rentre pas dans mes critères d´un BEAU problème...

ok avec ton indice

même démo que pour le deuxième:

on compare les moyennes géom et arithm de p éléments ( x/p) et q éléments ( y/q).
La moyenne arithmétique est alors
( p(x/p)+q(y/q))/(p+q) = a/(p+q) = cste
et la moyenne géom est
( (x/p)^p(y/q)^q)^(1/(p+q))
il y a égalité lorsque les x/p = y/q
c-a-d lorsque x/p = y/q = a/(p+q)

donc j´arrive à max(x^p*y^q) = ( a/(p+q))^(p+q)*p^p*q^q

Bon je poste un nouveau problème
Il est assez délicat, et nécessite une grande rigueur de démonstration...

Vingt enfants attendent leurs grands-pères dans la cour de la maternelle. Deux enfants quelconques ont toujours un grand-père en commun. Prouver que l´un des grands-pères a au moins 14 petits-enfants dans cette maternelle.

Pour ceux qui sècherais dessus, voici un plus simple:

Soit un cercle de rayon R
Soit d un point intérieur au cercle
Quel est le lieux de points x intérieurs au cercle tels que la distance dx est plus petite que la distance de x au cercle ?

Bien joué

Je vais jeter un oeil aux 2 pbs

Pour le 2ème pb, en écrivant les équations du pb en coordonnées polaires je trouve que x doit être à l´intérieur d´une ellipse de paramètre ( R²-a²)/2R et d´excentricité a/R où a est la distance du centre du cercle à d et R le rayon du cercle

wep, en passant en polair, on tombe direct sur la définition de l´ellipse

mais ca c´était le problème facile

Je crois que j´ai trouvé pour le pb de la maternelle.

Appelons a,b,c,d... les 20 gamins et notons a1,a2,b1,b2,... leurs grands pères

a -> a1 et a2

Pour b il ne reste que a1 et b2 ( ou a2 et b1 mais ça ne change rien) et pour c a2 et b2 ou a1 et b2 ou a1 et a2

Il ne peut donc y avoir plus de 3 grands-pères différents qu´on notera a1, a2 et b2
Si c a a2 et b2 alors a1, a2 et b2 ont 2 petits-enfants. Dans les autres cas il existe un grand-père qui a 3 petits-enfants.
Donc dans tous les cas 1 grand-père a au moins 2 petits-enfants.

Comme il n´y a que 3 combinaisons de 3 grands-pères chaque fois qu´on ajoute 3 enfants on ajoute ces 3 mêmes combinaisons.
Donc pour 3n enfants il existe un grand-père qui a au moins 2n petits-enfants.

Pour 3*6 = 18 enfants il existe donc un grand-père qui a au moins 2*6 = 12 enfants

En ajoutant 2 enfants de plus on ajoute 2 combinaisons de 2 grand-pères parmi 3, par exemple :
( a1,a2) et ( a1,b2)
Dans tous les cas de figure on ajoute 2 petits-enfants à un grand-père qui en avait déjà au moins 12.

Donc il existe un grand-père qui a au moins 14 petits-enfants

Tu t´es vraiment cassé la tête !

tu connais le principe des tiroirs ?
Si tu dois ranger 16 chaussettes dans 3 tiroirs, il y a forcément un tiroir qui contient au moins 6 chaussettes...

Donc tu as trouvé très vite qu´il n´y a que 3 grand pères au maximum:
on répartit donc les gosses en trois groupes, les a1,b1 les b1,c1 et les a1,c1. Par le principe des tiroirs, on voit qu´il existe un groupe de maximum 6 gosses. il y a donc minimum 14 gosses dans les deux autres groupes, et ces deux autres groupes ont un grand-père en commun

c´est q-meme plus joli comme ca non ?

Vous êtes où tous les autres ?

envoie un autre prob Redsparks

C´est vrai, c´est plus joli comme ça
J´ai trop voulu formaliser...

Je vais te chercher un autre pb

3 locataires, Stéphanie, Sophie et Sandrine partagent un logement où la cuisine est commune et possède une cheminée.
Stéphanie a mis dans le fourneau commun 3 bûches à elle et Sophie en a mis 5. Sandrine n´a pas de bois mais a obtenu des 2 autres d´utiliser quand même la cheminée. En compensation elle leur a donné 8 €. Comment Stéphanie et Sophie doivent-elles partager cette somme pour que ce soit équitable ?

Bah en tout y´a 8 buches apportées par les deux filles.

Et l´autre leur donne 8 euros.

Disons qu´une buche vaut 1 euro ici, Stéphanie recevra 3 euros et Sophie 5.